+ Exemple de politopuri regulate160pxUn pentagon regulat este un poligon, un politop bidimensional cu 5 laturi, cu simbolul Schläfli {5}.160pxUn dodecaedru regulat este un poliedru, un politop tridimensional, cu 12 fețe pentagonale, cu simbolul Schläfli {5,3}.160pxUn 120-celule regulat este un 4-politop, un politop 4-dimensional, cu 120 de celule dodecaedrice, cu simbolul Schläfli {5,3,3}. (arătat aici ca diagramă Schlegel)160pxUn fagure cubic regulat este o teselare, un politop tridimensional infinit, cu simbolul Schläfli {4,3,4}.320pxCele 256 de vârfuri și 1024 de laturi ale unui 8-cub pot fi prezentate în această proiecție ortogonală (poligon Petrie) În matematică, un politop regulat este un politop al cărui grup de simetrie este tranzitiv față de steagurile sale, conferindu-i astfel cel mai înalt grad de simetrie. Toate elementele și j-fețele sale (pentru orice 0 ≤ j ≤ n, unde n este dimensiunea politopului) — celule, fețe etc. — sunt, de asemenea, tranzitive pe simetriile politopului și sunt politopuri regulate de dimensiune ≤ n.

Politopurile regulate sunt generalizarea în orice număr de dimensiuni ale poligoanelor regulate (de exemplu pătratul sau pentagonul regulat) și a poliedrelor regulate (de exemplu, cubul). Marea simetrie a politopurilor regulate le conferă o calitate estetică care prezintă interes atât pentru matematicieni, cât și pentru ceilalți oameni.

În mod clasic, un politop regulat în n dimensiuni poate fi definit ca având fațete regulate [(n – 1)-fețe] și figuri ale vârfului regulate. Aceste două condiții sunt suficiente pentru a se asigura că toate fețele și vârfurile sunt uniforme. Totuși, această definiție nu corespunde pentru politopuri abstracte.

Un politop regulat poate fi reprezentat printr-un simbol Schläfli de forma {a, b, c, ...., y, z}, cu fațetele regulate {a, b, c, ..., y} și figurile regulate ale vârfurilor {b, c, ..., y, z}.

Clasificare și descriere Politopurile regulate sunt clasificate în primul rând după numărul lor de dimensiuni.

În continuare, ele pot fi clasificate în funcție de simetrie. De exemplu, cubul și octaedrul regulat au aceeași simetrie, la fel și dodecaedrul regulat cu icosaedrul. Grupurile de simetrie sunt uneori denumite după politopurile regualte, de exemplu simetriile tetraedrică și icosaedrică.

Trei clase speciale de politopuri regulate există în toate dimensiunile: Simplexurile regulate Hipercuburile Ortoplecșii

În două dimensiuni există infinit de multe poligoane regulate. În trei și patru dimensiuni există mai multe poliedre și 4-politopuri regulate în afară de cele trei menționate mai sus. În cinci și mai multe dimensiuni cele trei sunt singurele. A se vedea și lista politopurilor regulate.

Noțiunea de politop este uneori generalizată pentru a include tipuri de obiecte geometrice înrudite. Există exemple regulate ale unora dintre acestea.

Simboluri Schläfli

În secolul al XIX-lea Ludwig Schläfli a creat pentru politopurile regulate o notație simbolică concisă, care, ușor modificată, a devenit standard. Notația le descrie adăugând treptat câte o dimensiune.

Un poligon regulat convex având n laturi este notat cu {n}. Deci un triunghi echilateral este {3}, un pătrat {4} și așa mai departe la infinit. Un poligon stelat regulat care se înfășoară de m ori în jurul centrului său este notat prin fracția {n/m}, unde n și m sunt numere coprime, deci o pentagramă regulată este notată {5/2}. Un poliedru regulat având {n} fețe cu p fețe incidente în jurul unui vârf este notat cu {n, p}. Cele nouă poliedre regulate sunt {3, 3} {3, 4} {4, 3} {3, 5} {5, 3} {3, 5/2} {5/2, 3} {5, 5/2} și {5/2, 5}. {p} este figura vârfului poliedrului. Un 4-politop regulat având celule {n, p} din care q celule se întâlnesc în jurul unei laturi este notat cu {n, p, q}. Figura vârfului acestui 4-politop este {p, q}. Un 5-politop regulat este un {n, p, q, r} ș.a.m.d.

Dualitatea politopurilor regulate Politopul dual al unui politop regulat este și el un politop regulat. Simbolul Schläfli al unui politop dual este simbolul original scris în ordine inversă: {3, 3} este autodual, {3, 4} este dualul lui {4, 3}, {4, 3, 3} este dualul lui {3, 3, 4} ș.a.m.d.

Figura vârfului unui politop regulat este dualul fațetei politopului dual. De exemplu, figura vârfului lui {3, 3, 4} este {3, 4}, al căriei dual este {4, 3} — o celulă a {4, 3, 3}.

Hipercubul și ortoplexul sunt unul dualul celuilalt în orice dimensiune.

Dacă simbolul Schläfli este palindromic, adică este la fel când este citit în ordine inversă, atunci politopul este autodual. Politopurile autoduale regulate sunt: Toate poligoanele regulate, {a}. Toate n-simplexurile regulate, {3,3,...,3}. 24-celule regulat în 4 dimensiuni, {3,4,3}. Marele 120-celule ({5,5/2,5}) și marele 120-celule stelat ({5/2,5,5/2}) în 4 dimensiuni. Toți fagurii cubici regulați n-dimensionali, {4,3,...,3,4}. Aceștia pot fi tratați ca politopuri infinite. Pavările și fagurii hiperbolici (pavări {p,p} cu p > 4 în 2 dimensiuni, {4,4,4}, {5,3,5}. {3,5,3}, {6,3,6}, și {3,6,3} în 3 dimensiuni, {5,3,3,5} în 4 dimensiuni, și {3,3,4,3,3} în 5 dimensiuni).

Simplexuri regulate + Grafurile de la 1-simplex până la 4-simplex80px80px80px80px Segment Triunghi Tetraedru 5-celule   80px 80px 80px

Se începe cu un punct A. Se marchează punctul B la distanța r de acesta și se unesc pentru a forma un segment. Se marchează punctul C într-o a doua dimensiune, ortogonală, la distanța r de ambele și se unește cu A și B pentru a forma un triunghi echilateral'. Se marchează punctul D într-o a treia dimensiune, ortogonală, la distanța r de toate cele trei și se unesc pentru a forma un tetraedru regulat. Și așa mai departe pentru dimensiuni superioare.

Acestea sunt simplexurile regulate. Numele lor sunt, în ordinea dimensiunilor:

0. Punct 1. Segment 2. Triunghi echilateral (trigon regulat) 3. Tetraedru regulat 4. 5-celule regulat (4-simplex) 5. 5-simplex ... Un n-simplex are n+1 vârfuri.

Politopuri de măsură (hipercuburi) + Grafurile de la 2-cub până la 4-cub80px80px80px Pătrat Cub Tesseract 80px 80px 80px

Se începe cu punctul A. Se extinde spre punctul B aflat la distanța r cu un segment. Se extinde segmentul pe o lungime r într-o direcție ortogonală pe segmentul AB, de la B la C și de la A la D pentru a forma pătratul ABCD. Se extende pătratul la distanța r ortogonal pe AB și BC (de exemplu „în sus”). se marchează noile puncte E,F,G,H pentru a forma cubul ABCDEFGH. Și așa mai departe pentru dimensiuni superioare.

Acestea sunt politopurile de măsură sau hipercuburile. Numele lor sunt, în ordinea dimensiunilor:

0. Punct 1. Segment 2. Pătrat (tetragon regulat) 3. Cub (hexaedru regulat) 4. Tesseract sau 4-cub 5. Penteract sau 5-cub ... Un n-cub are 2n vârfuri.

Ortoplecși + Grafurile de la 2-orthoplex până la 4-orthoplex80px80px80px Pătrat Octaedru 16-celule 80px 80px 80px

Se începe cu un punct O. Se extinde pe o dreaptă în direcții opuse până la punctele A și B la distanța r de la O și 2r între ele. Se trasează segmentul COD de lungime 2r, având mijlocul în O și fiind ortogonală pe AB. Se unesc capetele pentru a forma pătratul ACBD. Se trasează segmentul EOF de aceeași lungime și având mijlocul în O, ortogonal pe AB și CD (de exemplu „în sus” și „în jos”'). Se unesc aceste două capete cu vârfurile pătratului pentru a forma un octaedru regulat. Și așa mai departe pentru dimensiuni superioare.

Acestea sunt ortoplecși. Numele lor sunt, în ordinea dimensiunilor:

0. Punct 1. Segment 2. Pătrat (tetragon regulat) 3. Octaedru regulat 4. 4-ortoplex sau 16-celule 5. 5-ortoplex ... Un n-ortoplex are 2n vârfuri.

Istoria descoperirilor Poligoane și poliedre convexe Cea mai veche tratare matematică cunoscută a poligoanelor și poliedrelor este cea a matematicienilor din Grecia Antică. Aceștia cunoșteau cele cinci poliedre platonice. Pitagora știa despre cel puțin trei dintre ele, iar Theaetetus (c. 417 î.Hr. – 369 î.Hr.) le-a descris pe toate cinci. Mai târziu, Euclid a scris un studiu sistematic al matematicii, publicându-l sub titlul Elementele, care a construit o teorie logică a geometriei și a teoriei numerelor. Opera sa s-a încheiat cu descrieri matematice ale celor cinci poliedre platonice. {| class="wikitable" style="width:600px; align=center; text-align:center" |- |colspan=5 align=center|Poluedrele platonice |- |align=center|75px |align=center|75px |align=center|75px |align=center|75px |align=center|75px |- |Tetraedru||Cub||Octaedru||Dodecaedru||Icosaedru

Poligoane și poliedre stelate Multe secole după Euclid cunoștințele matematice nu au progresat. Istoria ulterioară a politopurilor regulate poate fi caracterizată printr-o lărgire treptată a conceptului de bază, permițând ca tot mai multe obiecte să fie luate în considerare. Thomas Bradwardine (Bradwardinus) a fost primul care a studiat serios poligoanele stelate. Diferite poliedre stelate apar în arta Renașterii, dar abia când Johannes Kepler a studiat în 1619 micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru stelat a constatat că acestea erau regulate. Louis Poinsot a descoperit marele dodecaedru și marele icosaedru în 1809, iar Augustin Louis Cauchy a demonstrat în 1812 că lista este completă. Aceste poliedre sunt cunoscute drept poliedrele Kepler–Poinsot. {| class="wikitable" style="width:600px; align=center; text-align:center" |- |colspan=4 align=center|Poliedrele Kepler-Poinsot |- |align=center|75px |align=center|75px |align=center|75px |align=center|75px |- | Miculdodecaedrustelat || Mareledodecaedrustelat || Mareledodecaedru || Mareleicosaedru

Politopuri din dimensiuni superioare right|thumb|Proiecția 3D a unui tesseract în rotație. Tesseractul este inițial orientat astfel ca laturile sale să fie paralele cu cele patru axe de coordonate. Rotația se face în planul xw Abia în secolul al XIX-lea matematicianul elvețian, Ludwig Schläfli, a examinat și a descris politopurile regulate din dimensiunile superioare. Cercetările sale au fost publicate integral postum, în Schläfli, Theorie…, 1901, la șase ani după decesul său, deși părți ale acestora au fost publicate în 1855Schläfli, Réduction…, 1855 și 1958Schläfli, On the multiple…, 1858. Între 1880 și 1900, rezultatele lui Schläfli au fost redescoperite independent de cel puțin alți nouă matematicieni — pentru detalii v. Coxeter.Coxeter Regular…, 1948, pp. 143–144 Schläfli a numit o astfel de figură „polyschem” (). Termenul „politop” a fost introdus în 1882 de Reinhold Hoppe, unul dintre cei care au redescoperit rezultatele lui Schläfli, și folosit pentru prima dată în limba engleză de Alicia Boole Stott, aproximativ douăzeci de ani mai târziu. Termenul „polyhedroid” () a fost și el folosit în literatura anterioară (Hilbert, 1952).

Lucrarea lui Coxeter din 1948Coxeter Regular…, 1948 este probabil cea mai cuprinzătoare lucrare care tratează rezultatele lui Schläfli și cele similare din domeniu până în prezent. Schläfli a arătat că există șase politopuri regulate convexe în 4 dimensiuni. Cinci dintre ele pot fi văzute ca fiind analogii poliedrelor platonice: 4-simplexul (sau 5-celule) cu tetraedrul, hipercubul (sau tesseractul) cu cubul, 4-ortoplexul (sau 16-celule) cu octaedrul, 120-celule cu dodecaedrul și 600-celule cu icosaedrul. Al șaselea, 24-celule, poate fi văzut ca o formă de tranziție între hipercub și 16-celule, similar cum cuboctaedrul și dodecaedrul rombic sunt forme de tranziție între cub și octaedru.

În cinci și mai multe dimensiuni, există exact trei politopuri regulate, care corespund tetraedrului, cubului și octaedrului: acestea sunt simplexurile regulate, hipercuburile și ortoplecșii. De asemenea, prezintă interes 4-politopurile regulate stelate, descoperite parțial de Schläfli.