thumb|Poliedru platonic: tetraedru thumb|Poliedru stelat uniform: dodecadodecaedru snub Un poliedru uniform are fețele în formă de poligoane regulate și este tranzitiv pe vârfuri (adică, există o izometrie care aplică orice vârf pe oricare altul). Rezultă că toate vârfurile sunt congruente.
Poliedrele uniforme pot fi regulate (dacă sunt și tranzitive pe fețe și muchii), cvasiregulate (dacă sunt tranzitive pe muchii, dar nu și pe fețe) sau semiregulate (dacă nu sunt tranzitive nici pe muchii, nici pe fețe). Fețele și vârfurile nu trebuie să fie convexe, așa că multe dintre poliedrele uniforme sunt și poliedre stelate.
Există două clase infinite de poliedre uniforme, împreună cu alte 75 de poliedre: Clase infinite: prisme, antiprisme; Convexe: 5 poliedre platonice: poliedre convexe regulate, 13 poliedre arhimedice: 2 poliedre convexe cvasiregulate și 11 semiregulate; Stelate (neconvexe): 4 poliedre Kepler–Poinsot: poliedre neconvexe regulate, 53 poliedre stelate uniforme: 5 poliedre cvasiregulate și 48 semiregulate.
Există, de asemenea, multe poliedre uniforme degenerate, cu perechi de muchii care coincid, inclusiv unul găsit de John Skilling numit marele dirombidodecaedru disnub (figura lui Skilling).
Poliedrele duale ale poliedrelor uniforme sunt tranzitive pe fețe (izoedrice) și au figurile vârfurilor regulate, și sunt în general clasificate în paralel cu poliedrul lor dual (uniform). Dualul unui poliedru regulat este regulat, în timp ce dualul unui poliedru arhimedic este un poliedru Catalan.
Conceptul de poliedru uniform este un caz special al conceptului de politop uniform, care se aplică și formelor din spațiile din dimensiuni superioare (sau din dimensiuni inferioare).
Definiție Păcatul originar din teoria poliedrelor începe cu Euclid și prin Kepler, Poinsot, Cauchy și mulți alții continuă să afecteze toate lucrările pe această temă (inclusiv cele ale autorului de față). Provine din faptul că utilizarea tradițională a termenului „poliedre regulate” a fost, și este, contrară sintaxei și logicii: cuvintele par să sugereze că avem de-a face cu obiecte pe care le numim „poliedre”, cu acele cazuri particulare care merită să fie numite „regulate”. Dar în fiecare etapă — Euclid, Kepler, Poinsot, Hess, Brückner, ... — autorii nu au reușit să definească ce sunt „poliedrele” printre care se găsesc cele „regulate”.
Branko Grünbaum (1994) definesc poliedrele uniforme drept poliedre tranzitive pe vârfuri, cu fețe regulate. Ei definesc un poliedru ca fiind o mulțime finită de poligoane astfel încât fiecare latură a unui poligon să fie o latură a doar unui alt poligon, astfel încât nicio submulțime proprie nevidă a poligoanelor să aibă aceeași proprietate. Prin poligon se înțelege implicit un poligon în spațiul euclidian tridimensional; acestora le este permis să fie dispuse într-o formă neconvexă și să se intersecteze unul cu altul.
Există câteva generalizări ale conceptului de poliedru uniform. Dacă se renunță la presupunerea de conectivitate, atunci se obțin compuși uniformi, care pot fi considerați ca o reuniune de poliedre, cum ar fi compusul de cinci cuburi. Dacă se renunță la condiția ca realizarea poliedrului să nu fie degenerată, atunci se obține așa-numitul poliedru degenerat uniform. Acestea necesită o definiție mai generală a poliedrelor. a dat o definiție destul de complicată a unui poliedru, în timp ce a dat o definiție mai simplă și mai generală a unui poliedru: în terminologia lor, un poliedru este un politop abstract bidimensional cu o realizare tridimensională nedegenerată. Aici un politop abstract este o poziție a „fețelor” sale care îndeplinește diferite condiții, o realizare este o funcție a vârfurilor sale într-un anumit spațiu, iar realizarea se numește nedegenerată dacă oricare două fețe distincte ale politopului abstract au realizări distincte.
Unele dintre modalitățile prin care pot degenera sunt următoarele: Fețe ascunse. Unele poliedre au fețe ascunse, în sensul că niciun punct al interiorului lor nu poate fi văzut din exterior. Acestea nu sunt considerate de obicei poliedre uniforme. Compuși degenerați. Unele poliedre au muchii multiple și fețele lor sunt fețele a două sau mai multe poliedre, deși acestea nu sunt compuși în sensul anterior, deoarece poliedrele au muchii comune. Acoperiri duble. Există unele poliedre neorientabile care au acoperiri duble care satisfac definiția unui poliedru uniform. Acolo acoperirile duble au fețe, laturi și vârfuri dublate. De obicei nu sunt considerate poliedre uniforme. Fețe duble. Există mai multe poliedre cu fețe duble produse prin construcția Wythoff. Mulți autori nu admit fețele duble și le elimină din construcție. Margini duble. Figura Skilling are proprietatea că are margini duble (ca în poliedrele uniforme degenerate), dar fețele sale nu pot fi notate ca o reuniune a două poliedre uniforme.
Istoric Poliedre convexe regulate Poliedrele platonice datează din timpul grecilor clasici și au fost studiate de pitagoricienii, Platon (c. 424–348 î.Hr.), Theaetetus (c. 417–369 î.Hr.), Timaeus din Locri (c. 420–380 î.Hr.) și Euclid (323–285 î.Hr.). Etruscii au descoperit dodecaedrul regulat înainte de 500 î.Hr.Coxeter, Regular Polytopes, p. 13
Poliedre convexe uniforme neregulate Cuboctaedrul a fost cunoscut de Platon. Arhimede (287–212 î.Hr.) a descoperit toate cele 13 poliedre arhimedice. Lucrarea sa originală despre acest subiect s-a pierdut, dar Pappus din Alexandria (c. 290–350) a menționat o listă a lui Arhimede cu cele 13 poliedre. Piero della Francesca (1415–1492) a redescoperit cinci poliedre trunchiate ale poliedrelor platonice: tetraedrul, octaedrul trunchiat, cubul trunchiat, dodecaedrul trunchiat și icosaedrul trunchiat, și a inclus ilustrări și calcule ale proprietăților lor metrice în cartea sa De quinque corporibus regularibus (). În altă carte a scris despre cuboctaedru. Piero della Francesca's Polyhedra, georgehart.com, accesat 2021-02-19 Luca Pacioli a plagiat în De divina proportione () din 1509 lucrarea lui della Francesca, adăugând rombicuboctaedrul, pe care l-a numit icosihexaedru după cele 26 de fețe ale sale, și care a fost desenat de Leonardo da Vinci. Johannes Kepler (1571–1630) a fost primul care a publicat în 1619 lista completă a poliedrelor arhimedice și a identificat familiile infinite de prisme și antiprisme uniforme.
Poliedre stelate regulate Kepler a descoperit în 1619 două din poliedrele Kepler–Poinsot regulate iar Louis Poinsot a descoperit alte două în 1809. Augustin Cauchy (1789–1857) a demonstrat că acestea sunt toate, iar numele lor a fost dat de Arthur Cayley (1821–1895).
Celelalte 53 de poliedre stelate neregulate Din restul de 53, Edmund Hess (1878) a descoperit două, Albert Badoureau (1881) a descoperit încă 36 și, independent, Pitsch (1881) a descoperit 18, din care 3 nu fuseseră descoperite înainte. Împreună acestea erau 41 de poliedre. H.S.M. Coxeter a descoperit restul de 12 în colaborare cu J. C. P. Miller (1930–1932) dar nu le-a publicat. M.S. Longuet-Higgins și H.C. Longuet-Higgins au descoperit independent 11 din ele. Lesavre și Mercier au descoperit 5 din ele în 1947. a publicat lista poliedrelor uniforme. a demonstrat conjectura lor că lista era completă. În 1974 Magnus Wenninger a publicat în cartea sa Polyhedron models (), lista celor 75 de poliedre uniforme neprismatice, cu mai multe denumiri nepublicate anterior date de Norman Johnson. a demonstrat independent completitudinea listei și a arătat că dacă definiția poliedrului uniform este relaxată pentru a permite muchiilor să coincidă, atunci există doar o singură posibilitate suplimentară. În 1987, Edmond Bonan a trasat toate poliedrele uniforme și dualele lor în 3D, cu un program Turbo Pascal numit Polyca: aproape toate acestea au fost prezentate în cadrul Congresului Uniunii Stereoscopice Internaționale desfășurat la Congress Theatre, Eastbourne, Regatul Unit. În 1993 Zvi Har'El a realizat o construcție caleidoscopică completă a poliedrelor uniforme și a dualelor lor cu un program de calculator numit Kaleido și le-a rezumat în articolul Uniform Solution for Uniform Polyhedra (), ilustrat cu 80 de figuri. Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images Tot în 1993, R. Mäder a portat această soluție Kaleido la Mathematica cu un sistem de indexare ușor diferit. Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. În 2002 Peter W. Messer a descoperit un set minim de expresii pentru determinarea principalelor cantități combinatorice și metrice ale oricărui poliedru uniform (și ale dualului său) dat doar de simbolul său Wythoff.Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals, Peter W. Messer, Discrete Comput Geom 27:353–375 (2002) (arhivă)
Poliedre stelate uniforme
thumb|Marele dirombicosidodecaedru, singurul poliedru uniform ne-Wythoffian Cele 57 de forme neconvexe neprismatice, cu excepția marelui dirombicosidodecaedru, sunt compilate după construcțiile Wythoff din triunghiurile Schwarz.
Forme convexe prin construcție Wythoff
Poliedrele uniforme convexe pot fi denumite după operațiile construcției Wythoff în forme regulate.
Mai detaliat, poliedrul uniform convex este dat mai jos de construcția Wythoff în cadrul fiecărui grup de simetrie.
În cadrul construcției Wythoff, există repetări create de forme cu simetrie inferioară. Cubul este atât un poliedru regulat cât și o prismă pătrată. Octaedrul este un poliedru regulat și o antiprismă triunghiulară. Octaedrul este, de asemenea, un tetraedru rectificat. Multe poliedre apar repetat, din diferite surse de construcție și sunt colorate diferit.
Construcția Wythoff se aplică în mod egal poliedrelor uniforme și pavărilor uniforme ale suprafeței unei sfere, deci sunt date imagini ale ambelor. Pavările sferice incluzând mulțimile de hosoedre și diedre, care sunt poliedre degenerate.
Aceste grupuri de simetrie sunt formate din reflexiile grupurilor de puncte în spațiul tridimensional, fiecare reprezentat printr-un triunghi fundamental (p q r), unde p > 1, q > 1, r > 1 și . Simetrie tetraedrică (3 3 2) – ordinul 24 Simetrie octaedrică (4 3 2) – ordinul 48 Simetrie icosaedrică (5 3 2) – ordinul 120 Simetrie diedrală (n 2 2), pentru n = 3,4,5,... – ordinul 4n
Restul formelor nereflexive sunt construite prin operațiuni de alternare aplicate poliedrelor cu un număr par de muchii.
Împreună cu prismele și simetria diedrală a acestora, procesul de construcție sferic Wythoff adaugă două clase regulate care devin degenerate ca poliedre: diedrele și hosoedrele, prima având doar două fețe, iar a doua doar două vârfuri. Trunchierea hosoedrelor regulate creează prismele.
Dedesubt, poliedrele uniforme convexe sunt numerotate 1–18 pentru formele neprismatice așa cum sunt prezentate în tabele prin forma de simetrie.
Pentru setul infinit de forme prismatice, acestea sunt grupate în patru familii: Hosoedre H2... (doar ca pavări sferice) Diedre D2... (doar ca pavări sferice) Prisme P3... (hosoedre trunchiate) Antiprisme A3... (prisme snub)
Tabele rezumative Nume JohnsonInițialTrunchiatRectificatBitrunchiat(dual tr.)Birectificat(dual)CantelatOmnitrunchiat(cantitrunchiat)SnubDiagramă CoxeterSimbol Schläfliextins{p,q}t{p,q}r{p,q}2t{p,q}2r{p,q}rr{p,q}tr{p,q}sr{p,q}t0{p,q}t0,1{p,q}t1{p,q}t1,2{p,q}t2{p,q}t0,2{p,q}t0,1,2{p,q}ht0,1,2{p,q}Simbol Wythoff(p q 2) q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2Figura vârfuluipqq.2p.2p(p.q)2p.2q.2qqpp.4.q.44.2p.2q3.3.p.3.qTetraedrică(3 3 2)72px3.3.372px3.6.672px3.3.3.372px3.6.672px3.3.3 72px3.4.3.472px4.6.672px3.3.3.3.3Octaedrică(4 3 2)72px4.4.472px3.8.872px3.4.3.472px4.6.672px3.3.3.372px3.4.4.472px4.6.872px3.3.3.3.4Icosaedrică(5 3 2)72px5.5.572px3.10.1072px3.5.3.572px5.6.672px3.3.3.3.372px3.4.5.472px4.6.1072px3.3.3.3.5
Exemple de simetrii diedrale