thumb|Desfășurată
În geometrie 24-celule este un obiect cvadridimensional, un 4-politop convex regulat (analog cvadridimensional al poliedrelor platonice), cu simbolul Schläfli {3,4,3}. Mai este cunoscut drept octaplex, C24 sau alte denumiri întâlnite în literatura în limba engleză.
Este format din celule octaedrice dintre care câte 6 se întâlnesc în fiecare vârf și câte 3 în fiecare latură. Împreună celulele au 96 de fețe triunghiulare, 96 de laturi și 24 de vârfuri. Figura vârfului este un cub. 24-celule este autodual. Acesta și tesseractul sunt singurele 4-politopuri convexe regulate la care lungimea muchiei este egală cu raza sferei circumscrise.
24-celule nu are un analog regulat tridimensional. Este singurul dintre cele șase 4-politopuri convexe regulate, care nu este analogul în patru dimensiuni al unuia dintre cele cinci poliedre platonice. Totuși, poate fi văzut ca analogul unei perechi de poliedre neregulate: cuboctaedrul și dualul său, dodecaedrul rombic.
24-celule identice fiind în contact la nivel de fețe pot umple spațiul cvadridimensional, formând fagurele 24-celule. Ca un politop care poate pava prin translație, 24-celule este un exemplu de paralelotop, cel mai simplu care nu este și un zonotop.
Geometrie 24-celule încorporează geometriile fiecărui politop regulat convex din primele patru dimensiuni, cu excepția 5-celule, a celor cu un 5 în simbolul lor Schlӓfli și a poligoanelor {7} și cu mai multe laturi. Explorarea unui 24-celule este deosebit de utilă deoarece se pot vedea relațiile geometrice dintre toate aceste politopuri regulate într-un singur 24-celule sau fagurele său.
24-celule este al patrulea din secvența de 6 politopuri regulate convexe (în ordinea mărimii și complexității). Politopurile regulate convexe pot fi ordonate după dimensiune ca măsură a conținutului 4-dimensional (hipervolum) pentru aceeași rază. Fiecare politop mai mare din secvență este „mai rotund” decât predecesorul său, cuprinzând mai mult conținut în aceeași rază. 5-celule (4-simplexul) este cel mai mic, iar 120-celule este cel mai mare. Complexitatea poate fi apreciată comparând matricele configurațiilor lor, sau chiar doar numerele vârfurilor lor.
Coordonate Pătrate 24-celule este anvelopa convexă a vârfurilor sale, care poate fi descrisă de permutările celor 24 de coordonate: .
Aceste coordonate pot fi generate ca , rectificând 16-celule, , cu permutările a 8 vârfuri (±2,0,0,0). Figura vârfului a 16-celule este octaedrul; astfel, tăierea vârfurilor unui 16-celule la mijlocul laturilor incidente în vârf produce 8 celule octaedrice. Acest proces produce și rectificarea celulelor tetraedrice ale 16-celule, care devin 16 octaedre, dând cele 24 de celule octaedrice ale 24-celule.
În acest cadru, 24-celule are laturi de lungime și este înscris într-o 3-sferă de rază . În mod remarcabil, lungimea muchiei este egală cu raza sferei circumscrise, ca la hexagon, sau cuboctaedru. Astfel de politopuri sunt echilaterale radial.
Cele 24 de vârfuri formează 18 pătrate mari (3 seturi de 6 plane ortogonale), dintre care câte 3 se întâlnesc în fiecare vârf. În fiecare vârf ajunge unul dintre aceste pătrate, astfel că 24-celule poate fi văzut ca vârfurile a 3 perechi de pătrate complet ortogonale care nu se întâlnesc în niciun vârf, doar în centrul comun.
Hexagoane 24-celule este autodual, având același număr de vârfuri (24) ca și celulele și același număr de laturi (96) ca și fețele.
Dacă dualul 24-celule cu lungimea laturii este generat pe baza sferei încrise, se obține un alt 24-celule, care are lungimea laturii și raza sferei circumscrise 1, iar coordonatele sale descriu mai bine structura. În acest cadru, 24-celule este poziționat cu un vârf în sus, iar vârfurile sale pot fi obținute după cum urmează:
8 vârfuri obținute prin permutarea coordonatelor întregi: (±1, 0, 0, 0)
și 16 vârfuri cu coordonate la jumătate de întreg, de forma: (±, ±, ±, ±) toate 24 aflându-se la distanța 1 de origine. Aceștia sunt cuaternioni Hurwitz.
În acest sistem de coordonate 24-celule are raza și lungimea laturilor egale cu unitatea. Acesta diferă de cel cu raza folosit mai sus
Cele 24 de vârfuri și 96 de laturi formează 16 mari hexagoane neortogonale, care se intersectează numai în centrul lor comun. Observând doar un hexagon la fiecare vârf, cele 24-celule poate fi văzut drept cele 24 de vârfuri ale 4 cercurilor mari hexagonale, care nu se intersectează, fiind paralele Clifford unul față de altul.
Cele 12 axe și 16 hexagoane ale 24-celule constituie o configurație Reye, care în limbajul configurațiilor este scrisă ca 124163 pentru a indica faptul că fiecare axă aparține a 4 hexagoane și fiecare hexagon conține 3 axe.
Triunghiuri Cele 24 de vârfuri pot fi văzute ca vârfurile a 8 triunghiuri echilaterale situate în 4 plane ecuatoriale ortogonale care se intersectează doar în centrul lor comun.
Coarde hipercubice thumb|Geometria vârfului 24-celulei ehilaterală radial, care arată cele 3 poligoane înscrise într-un cerc mare și cele 4 lungimi ale coardelor de la vârf la vârf Cele 24 de vârfuri ale 24-celulei sunt distribuite la patru diagonale cu lungimi diferite: , , și .
Fiecare vârf este conectat la alte 8. Acestea înconjoară vârful (în spațiul tridimensional al anvelopei 24-celulei), la o distanță de 1, și care subîntind un unghi de 60° = , în felul în care cele 8 vârfuri ale unui cub îi înconjoară centrul, figura vârfului 24-celulei fiind un cub.
Următoarele ca distanță sunt 6 vârfuri care înconjoară vârful (în spațiul tridimensional) la o distanță de , și care subîntind un unghi de 90° = , în felul în care cele 6 vârfuri ale unui octaedru îi înconjoară centrul. Alte 8 vârfuri se află la 120° = , la distanța de pe coarde interioare. Vârful opus este la 180° = , la distanța de 2, pe diametru. Final, deoarece 24-celule este ehilateral radial, centrul său poate fi considerat drept un al 25-lea vârf canonic (apex), fiind la distanța 1 de toate celelalte.
Pentru a vizualiza modul în care sunt aranjate politopurile interioare ale 24-celulei, se observă că cele patru lungimi ale coardelor (, , , ) sunt diagonalele hipercuburilor din dimensiunile 1 până la 4: diagonala pătratului este ; cea a cubului este ; iar cea a tesseractului este . Mai mult, diagonala octaedrului este ca a pătratului; iar diagonala 24-celulei este ca a tesseractului. În 24-celule coardele sunt laturile pătratelor centrale, iar coardele sunt diagonalele pătratelor centrale.
Geodezice thumb|Proiecție stereografică a celor 16 hexagoane centrale pe cercurile lor mari. Fiecare cerc mare este divizat de intersecții în 6 laturi arcuite. Coardele unui 24-celule formează poligoane în cercuri mari geodezice. Distanța geodezică dintre două vârfuri ale unui 24-celule de-a lungul unei căi cu laturi de este întotdeauna 1, 2 sau 3 și este 3 numai pentru vârfurile opuse.
Laturile apar în 16 cercuri mari cu hexagoane (în plane înclinate la 60°) din care câte 4 se intersectează) în fiecare vârf. Cele 96 de laturi distincte împart suprafața în 96 de fețe triunghiulare și 24 de celule octaedrice: un 24-celule. Cele 16 cercuri mari hexagonale pot fi împărțite în 4 seturi de 4 paralele Clifford care nu se intersectează, astfel încât doar un cerc mare hexagonal din fiecare set să treacă prin fiecare vârf, iar cele 4 hexagoane din fiecare set să atingă toate cele 24 de vârfuri.
Coardele apar în 18 cercuri mari cu pătrate Cele 72 de coardei distincte nu sunt situate în aceleași plane ca cercurile mari cu hexagoane; nu sunt situate pe laturile 24-celulei, trec prin centrele celulelor sale octogonale. Cele 18 cercuri mari pătratice pot fi împărțite în 3 seturi de 6 geodezice paralele Clifford, care nu se intersectează, astfel încât doar un cerc mare pătratic din fiecare set să treacă prin fiecare vârf, iar cele 6 pătrate din fiecare set să ajungă la toate cele 24 de vârfuri.
Coardele apar în 32 de cercuri mari cu triunghiuri în 16 plane (4 seturi de 4 plane ortogonale), dintre care 4 se intersectează în fiecare vârf. Cele 96 de coarde distincte merg de la un vârf la oricare alt vârf din aceleași plan al cercurilor mari cu hexagoane.
Coardele apar ca 12 diametre de la vârf la vârf (3 seturi de 4 axe ortogonale), fiind formate din cele 24 de raze din jurul celui de-al 25-lea vârf central.
Suma pătratelor lungimilor tuturor acestor coarde distincte ale 24-celule este 576 = 24<sup>2/sup>. Acestea sunt toate poligoanele centrale prin vârfuri, dar în spațiul cvadridimensional există geodezice pe 3-sferă care nu se află deloc în planele centrale. Există căi geodezice cele mai scurte între două vârfuri ale 24-celule care sunt elicoidale, nu circulare; ele corespund unor rotații izoclinice în diagonală, nu rotațiilor simple.
Laturile apar în 48 de perechi paralele, la capetele perechilor . Coardele apar în 36 de perechi paralele, la capetele perechilor . Coardele apar în 48 de perechi paralele, la capetele perechilor .
Planele centrale ale 24-celule pot fi împărțite în 4 hiperplane (tridimensionale) centrale formând fiecare câte un cuboctaedru. Hexagoanele mari sunt la 60° unul de altul; pătratele mari sunt la 90° sau 60° unul de altul; un pătrat mare și un hexagon mare sunt la 90° și 60° unul de altul Fiecare set de poligoane centrale similare (pătrate sau hexagoane) poate fi împărțit în 4 seturi de poligoane paralele Clifford (din câte 6 pătrate sau 4 hexagoane) care nu se intersectează. Fiecare set de cercuri mari paralele Clifford este un paralel care trece prin fiecare din cele 24 de vârfuri o singură dată.
Fiecare cerc mare se intersectează cu celelalte cercuri mari cu care nu sunt paralele Clifford într-un diametru () al 24-celule.{Efn|Două pătrate mari și hexagoane mari care se intersectează au câte două vârfuri opuse comune, dar pătratele sau hexagoanele aflate pe cercuri mari paralele Clifford nu au vârfuri în comun. Două triunghiuri mari au în comun câte un singur vârf deoarece nu au vârfuri opuse.|name=how great circle planes intersect|group=}} Cercurile mari care sunt complet ortogonale sau paralele Clifford nu se intersectează: ele trec prin seturi de vârfuri disjuncte.
Construcții Triunghiurile și pătratele se reunesc în mod unic în 24-celule pentru a genera sub formă de caracteristici interioare toate politopurile convexe regulate cu fețe triunghiulare sau pătrate din primele patru dimensiuni, cu excepția a 5-celule și 600-celule. În consecință, există numeroase moduri de a construi sau descompune un 24-celule.
Construcții alternative din 8-celule și 16-celule Cele 8 vârfuri întregi (±1, 0, 0, 0) sunt vârfurile unui 16-celule regulat, iar cele 16 vârfuri la jumătate de întreg (±, ±, ±, ±) sunt vârfurile dualului său, tesseractul (8-celule). Tesseractul oferă construcția lui Gosset a 24-celule, echivalentă cu divizarea tesseractului în 8 piramide cubice, și apoi atașarea acestora la fațetele unui al doilea tesseract. O construcție analoagă în spațiul tridimensional dă dodecaedrul rombic care, totuși, nu este regulat. 16-celule oferă construcția alternativă a 24-celule, construcția lui Cesaro, echivalentă cu rectificarea unui 16-celule (trunchierea colțurilor sale la mijlocul laturilor, așa cum este descris mai sus). Construcția analogă în 3-spațiu dă cuboctaedrul (dual al dodecaedrului rombic) care nici el nu este regulat. Tesseractul și 16-celule sunt singurele 4-politopuri regulate din 24-celule.
Se pot împărți în continuare cele 16 vârfuri la jumătate de întreg în două grupuri: cele ale căror coordonate conțin un număr par de semne minus (−) și cele cu un număr impar. Fiecare dintre aceste grupuri de 8 vârfuri definește un 16-celule regulat. Acest lucru arată că vârfurile a 24-celule pot fi grupate în trei seturi disjuncte de opt, fiecare set definind un 16-celule regulat și complementul care definește tesseractul dual. Acest lucru arată și că simetriile unui 16-celule formează un subgrup cu indice 3 al grupului de simetrie al 24-celule.
Dimininuări