În matematică, grupul rotațiilor în spațiul euclidian cvadridimensional este notat SO(4). Numele provine din faptul că este grupul ortogonal special de ordinul 4.
În acest articol prin rotație se înțelege o deplasare de rotație față de un punct fix. Din motive de unicitate, se presupune că unghiurile de rotație se află în intervalul , cu excepția cazurilor în care se precizează altceva sau rezultă clar din context. Un "plan fix" este un plan în care fiecare vector din plan rămâne neschimbat după rotație. Un "plan invariant" este un plan în care fiecare vector din plan rămâne în plan după rotație.
Geometria rotațiilor în 4 dimensiuni În 4 dimensiuni rotațiile sunt de două feluri: simple și duble
Rotații simple O rotație simplă în jurul centrului de rotație păstrează fix întregul plan față de . Orice plan care este complet ortogonal cu intersectează într-un punct . Orice asemenea punct este centrul unei rotații bidimensionale deretminată în de . Toate aceste rotații bidimensionale au același unghi de rotație .
Semidreptele din în planul axei nu sunt deplasate; semidreptele din ortogonale la sunt rotite cu unghiul ; toate celelalte semidrepte sunt rotite cu un unghi mai mic decât .
Rotații duble thumb|Proiecție stereografică a unui tesseract, într-o rotație dublă thumb|O proiecție stereografică în 3D a unui tor Clifford cvadridimesnional arată ca un tor, iar o rotație dublă poate fi văzută ca o mișcare elicoidală pe acel tor. Pentru o rotație la care raportul celor două unghiuri de rotație este un număr rațional, la un moment dat calea mișcării se va închide, dar dacă acest raport este un număr irațional calea mișcării nu se va închide niciodată. O rotație izoclinică va forma un cerc Villarceau pe tor, în timp ce o rotație simplă va forma un cerc paralel cu, sau perpendicular pe axa centrală.
La fiecare rotație din 4-spațiu (fixând originea), există cel puțin o pereche de 2-plane ortogonale și , fiecare din ele fiind invariant, iare suma lor directă fiind întregul 4-spațiu. Prin urmare o rotație produce în aceste plane o rotație obișnuită. Pentru aproape orice (în toate seturile de rotații 6-dimensionale cu excepția subsetului 3-dimensional), unghiurile de rotație în planul și în planul — presupunând că niciunul nu este zero — sunt diferite. Unghiurile de rotație inegale și satisfying , sunt aproape unic determinate de . Presupunând că 4-spațiul este orientat, atunci orientările celor 2-plane și pot fi alese în concordanță cu această orientare în două moduri. Dacă unghiurile de rotație sunt inegale (), este uneori denumită „rotație dublă”.
În acest caz al dublei rotații, și sunt singura pereche de plane invariante, iar semidreptele din orrigine din , sunt rotite cu unghiurile respectiv , iar semidreptele din origine care nu sunt în sau sunt rotite cu unghiuri strict între și .
Rotații izoclinice Dacă unghiurile de rotație ale unei duble rotații sunt egale, atunci există infinit de multe plane invariante în loc de doar două, iar toate semidreptele din sunt rotite cu același unghi. Astfel de rotații se numesc izoclinice, rotații echiunghiulare sau deplasări Clifford. De notat că nu toate planele prin sunt invariante sub rotații izoclinice; numai planele care sunt generate de semidrepte, iar deplasarea acelor semidrepte este invariantă.
Presupunând că a fost aleasă o orientare fixă pentru spațiul 4-dimensional, rotațiile izoclinice cvadridimensionale pot fi împărțite în două categorii. Pentru a vedea acest lucru, fie o rotație izoclinică și un set ordonat conform orientării semidreptelor reciproc perpendiculare în (notate ca ) astfel încât și generează un plan invariant, și, prin urmare, și generează și ele un plan invariant. Acum, se presupune că este specificat doar unghiul de rotație . Apoi, în general, există patru rotații izoclinice în planele și cu unghiul de rotație , în funcție de sensurile rotațiilor din și .
Se face covenția că sensurile rotațiilor de la la și de la la sunt cele pozitive. Atunci vor exista patru rotații , , și . și sunt una inversa celeilalte, la fel și și . cât timp se află între 0 și aceste patru rotații vor fi diferite.
Rotațiile izoclinice cu semne similare sunt notate ca izoclinice la stânga, iar cele cu semne opuse ca izoclinice la dreapta. Rotațiile izoclinice la stânga și la dreapta sunt reprezentate, respectiv, prin înmulțirea la stânga și la dreapta cu cuaternioni unitate (v. mai jos).
Cele patru rotații sunt diferite în perechi, cu excepția cazului în care sau Unghiul corespunde rotației identice (fără rotație), iar corespunde cu simetria față de centru, dată de negativul matricei unitate. Aceste două elemente ale sunt singurele care sunt simultan izoclinice și la stânga și la dreapta.
Rotațiile izoclinice la stângă și la dreaptă definite mai sus par să depindă de rotația izoclinică specifică care a fost aleasă. Totuși, dacă se alege o altă rotație izoclinică , cu propriile axe , , , , apoi se poate alege oricând ordinea (printr-o permutare pară) a , , , astfel încât să poată fi transformată în printr-o rotație mai degrabă decât printr-o rotație-reflexie (adică astfel încât baza ordonată , , , să fie și ea compatibilă cu aceeași alegere fixă a orientării ca și cea a , , , ). Prin urmare, odată ce s-a ales o orientare (adică un sistem de axe care este considerat pe dreapta), se poate determina caracterul pe stânga sau pe dreapta a unei rotații izoclinice specifice.
Structura grupului SO(4) este un grup Lie 6-dimensional compact necomutativ.
Fiecare plan care trece prin centrul de rotație este planul axei unui subgrup comutativ izomorf cu . Toate aceste subgrupuri sunt reciproc conjugate în .
Fiecare pereche de planuri complet ortogonale prin este perechea de planuri invariante ale unui subgrup comutativ al izomorf cu .
Aceste grupuri sunt toruri maxime ale , care se conjugă reciproc în .
Toate rotațiile izoclinice pe stânga formează subgrupul necomutativ al care este izomorf cu grupul multiplicativ al cuaternionilor unitate. Toate rotațiile izoclinice pe dreapta formează subgrupul necomutativ al care este izomorf cu grupul multiplicativ . Ambele și sunt subgrupuri maximale ale .
Fiecare rotație izoclinică pe stânga comută cu fiecare rotație izoclinică pe dreapta. Astea implică faptul că există produsul direct de grupuri , ambele grupuri factor sunt izomorfe cu alți factori ai produsului direct, adică izomorfe cu . (Acesta nu este sau un subgrup al său, deoarece și nu sunt disjuncte: fiecare dintre identitatea și inversa față de centru aparțin ambelor și .)
Fiecare rotație cvadridimensională este în două feluri produsul rotațiilor izoclinice pe stânga și pe dreapta și . și sunt determinate împreună de inversarea față de centru, adică atunci când ambele și sunt inversate față de centru produsul lor este tot .
Asta implică faptul că este grupul de acoperire universal al — este unicul grup de dublă acoperire — și atunci și sunt subgrupuri normale ale . Rotația identică (nulă) și inversa sa față de centru formează grupul de ordinul 2, care este centrul și al ambelor și . Centrul unui grup este un subgrup normal al grupului. Grupul factor al în este izomorf cu . Grupul factor al față de și al față de sunt fiecare izomorfe cu . Similar, grupul factor al față de și al față de sunt fiecare izomorfe cu .
Topologia este aceeași cu a grupului Lie adică cu spațiul unde este spațiul proiectiv real cu dimensiunea 3 iar este o 3-sferă. Este de remarcat faptul că deși este un grup Lie, el nu este un produs direct de grupuri Lie, ca urmare nu este izomorf cu .
O proprietate particulară a SO(4) printre grupurile de rotații în general Grupurile de rotații impare nu conțin inversarea față de centru și sunt grupuri simple.
Grupurile de rotații pare conțin inversarea față de centru și au grupul ca centru. Pentru n ≥ 6 par, este aproape simplu prin aceea că grupul factor al față de centrul său este un grup simplu.
este diferit: nu există o conjugare a niciunui element al care să transforme rotațiile izoclinice pe stânga și pe dreapta una în cealaltă. Reflexiile transformă o rotație izoclinică pe stânga într-una izoclinică pe dreapta prin conjugare și invers. Acest lucru implică faptul că în grupul O(4) al tuturor izometriilor cu punct fix subgrupurile distincte și se conjugă între ele, prin urmare nu pot fi subgrupuri normale ale . Grupul de rotații 5-dimensional și toate grupurile de rotații superioare conțin subgrupuri izomorfe cu . Ca și , toate grupurile de rotații uniforme conțin rotații izoclinice. Dar, spre deosebire de , în și în toate grupurile de rotații din dimensiuni superioare pare, oricare două rotații izoclinice cu același unghi sunt conjugate. Setul tuturor rotațiilor izoclinice nu este nici măcar un subgrup al , darămite un subgrup normal.
Algebra rotațiilor cvadridimensionale De obicei este identificat drept grupul aplicațiilor liniare izometrice de conservare a orientării unui spațiu vectorial cvadridimensional cu produsul său interior asupra numerelor reale pe el însuși.
Cu privire la o bază într-un astfel de spațiu, este grupul de matrici ortogonale de ordinul 4 cu determinantul +1.
Descompunere izoclinică O rotație cvadridimensională dată de o matrice este descompusă într-o rotație izoclinică pe stânga și una pe dreapta după cum urmează. Fie:
matricea sa în raport cu o bază ortonormală arbitrară.
Se calculează așa-numita „matrice asociată”:
are rangul unu și este un vector 16-dimesnional cu norma euclidiană 1 dacă și numai dacă este într-adevăr o matrice de rotație cvadridimensională. În acest caz există numere reale și astfel încât
și
Există doar două seturi de și astfel încât și . Ele sunt reciproc contrarii.
Matricea de rotație este apoi egală cu
Aceasta este formula lui Van Elfrinkhof (1897). Primul factor în această descompunere reprezintă o rotație izoclinică la stânga, al doilea factor o rotație izoclinică la dreapta. Factorii sunt determinați până la matricea unitate de ordinul 4 negativă, adică inversarea față de centru.
Relația cu cuaternionii Un punct din spațiul cvadridimensional cu coordonatele carteziene poate fi reprezentat de un cuaternion .
O rotație izoclinică la stânga este reprezentată de înmulțirea la stânga cu un cuaternion unitate . În limbajul matricial–vectorial asta înseamnă
La fel, o rotație izoclinică la dreapta este reprezentată de înmulțirea la dreapta cu un cuaternion unitate , care în formă matricial–vectorială este
În secțiunea precedentă (descompunere izoclinică) se arată cum o rotație cvadridimensională oarecare este descompusă în factori izoclinici pe dreapta și pe stânga.
În limbajul cuaternionilor formula lui Van Elfrinkhof devine
sau, în formă simbolică,
După matematicianul German Felix Klein această formulă îi era cunoscută lui Cayley în 1854.
Înmulțirea cuaternionilor este asociativă. Prin urmare,
ceea ce arată că rotațiile izoclinică la stânga și izoclinică la dreapta pot comuta.
Valorile proprii ale matricilor de rotație cvadridimensională Cele patru valori proprii ale unei matrice de rotație cvadridimensională apar în general ca două perechi conjugate de numere complexe cu modulul unitate. Dacă o valoare proprie este reală, trebuie să fie ±1, deoarece o rotație lasă neschimbat modulul unui vector. Conjugatul acelei valori proprii este, de asemenea, unitate, rezultând o pereche de vectori proprii care definesc un plan fix, astfel încât rotația este simplă. În notația cu cuaternioni, o rotație (fără inversare) în SO(4) este o rotație simplă dacă și numai dacă părțile reale ale cuaternionilor unitate și sunt egale ca mărime și au același semn. Dacă ambele sunt zero, toate valorile proprii ale rotației sunt unități, iar rotația este rotația nulă. Dacă părțile reale ale și nu sunt egale atunci toate valorile proprii sunt complexe, iar rotația este o rotație dublă.
Formula Euler–Rodrigues pentru rotații cvadridimensionale