thumb|O 2-sferă văzută ca un într-o proiecție ortogonală thumb|Așa cum o proiecția stereografică poate proiecta suprafața unei sfere pe un plan, ea poate proiecta și o 3-sferă în 3-spațiu. În imagine sunt prezentate trei direcții de coordonate proiectate în 3-spațiu: paralele (roșu), meridiane (albastru) și hipermeridiane (verde). Deoarece proiecția stereografică este o transformare conformă, curbele se intersectează ortogonal (în punctele galbene) ca în spațiul cvadridimensional. Toate curbele sunt cercuri: curbele care se intersectează 〈0,0,0,1〉 au o rază infinită (sunt drepte). În matematică o -sferă este un spațiu topologic care este homeomorf cu -sfera "standard", care este mulțimea punctelor din spațiul euclidian -dimensional care sunt situate la o distanță constantă de un punct fix, numit centru. Este generalizarea unei sfere obișnuite din spațiul tridimensional obișnuit. Raza unei sfere este distanța constantă a punctelor sale până la centru. Când sfera are raza egală cu o unitate, de obicei este numită -sferă unitate, sau, pe scurt, -sferă. În ceea ce privește norma standard, -sfera este definită drept

iar -sfera de rază este definită drept

Dimensiunea unei -sfere este , care nu trebuie confundată cu dimensiunea a spațiului euclidian care o conține în mod natural. O -sferă este suprafața care mărginește o bilă -dimensională.

În particular: perechea de puncte de la capetele unui segment (unidimensional) este o 0-sferă, un cerc, care este circumferința unidimensională a unui disc bidimensional, este o 1-sferă, suprafața bidimensională a unei bile tridimensionale este o 2-sferă, numită uzual sferă, frontiera tridimensională a unei 4-bile (cvadridimensională) este o 3-sferă, frontiera -dimensională a unei -bile (-dimensională) este o -sferă.

Pentru -sferele, care sunt , pot fi caracterizate (până la un difeomorfism) ca fiind varietăți -dimensionale simplu conexe, cu curbură constantă pozitivă. -sferele admit alte câteva descrieri topologice: de exemplu, ele pot fi construite prin lipirea împreună a două spații euclidiene -dimensionale, identificând limita unui -cub cu un punct, sau (inductiv) prin formarea suspensiei unei -sfere. 1-sfera este o 1-varietate care este un cerc, care nu este simplu conex. O 0-sferă este o 0-varietate formată din două puncte, care nici măcar nu sunt conexe.

Prin hipersferă se înțelege în general o n-sferă cu  > 2.

Descriere În coordonate euclidiene din -spațiu Mulțimea punctelor din -spațiu, care definește o -sferă, este dată de ecuația:

unde este centrul, iar este raza.

-sfera de mai sus există în spațiul euclidian -dimensional și este un exemplu de -varietate. Volumul unei -sfere de rază este dat de

unde este (stea); v. pentru demonstrație în cazul . Rezultă

-bilă

Spațiul închis de o -sferă se numește -bilă. O -bilă este închisă dacă include -sfera și este deschisă dacă nu o include.

În particular: o 1-bilă este un segment, interiorul unei 0-sfere, o 2-bilă este un disc, interiorul unui cerc (1-sferă), o 3-bilă este o bilă obișnuită, interiorul unei sfere (2-sferă), o 4-bilă este interiorul unei 3-sfere etc.

Prin hiperbilă se înțelege în general o n-bilă cu  > 2.

Descriere topologică Topologic, o -sferă poate fi construită ca o a spațiului euclidian -dimensional. Pe scurt, -sfera poate fi descrisă ca , care este spațiul euclidian -dimensional plus un singur punct care reprezintă infinitul în toate direcțiile. În particular, dacă un singur punct este înlăturat de pe o -sferă, ea devine homeomorfă cu . Asta formează baza proiecției stereografice. James W. Vick (1994). Homology theory, p. 60. Springer

Volumul și aria thumb|250px|Graficele volumelor (V) și ariilor (S) ale n-bilelor de rază 1. Pe imaginea de la commons (faceți la commons clic pe imagine) indicând un punct se va afișa valoarea lui. și sunt volumul -dimensional al bilei -dimensionale, respectiv aria suprafeței -sferei -dimensionale, de rază .

Constantele și (pentru , bila și sfera unitate) sunt legate prin relațiile de recurență:

Ariile și volumele sunt date și de relațiile:

unde este funcția gamma. </div>

În general, volumul -bilei de rază din spațiul euclidian -dimensional și aria suprafeței -sferei de rază din spațiul euclidian -dimensional sunt proporționale cu a -a putere a razei (cu diferite constante de proporționalitate care depind de ). Se poate scrie pentru volumul -bilei și pentru aria suprafeței -sferei, ambele de rază , unde și sunt valorile pentru raza 1.

În teorie, se pot compara valorile și pentru . Totuși, acestea nu sunt bine definite. De exemplu, dacă și atunci comparația este de parcă s-ar compara un număr de metri pătrați cu alt număr de metri cubi. La fel la compararea cu pentru .

Exemple 0-bila este formată dintr-un singur punct. Dimensiunea Hausdorff este numărul de puncte al mulțimii. Prin urmare,

0-sfera este formată din două puncte de capăt, . Prin urmare,

1-bila unitate este intervalul de lungime 2. Prin urmare,

1-sfera este cercul unitate din planul euclidian, care are circumferința (1-dimensională)

Zona închisă de 1-sferă este 2-bila, sau discul unitate, care are aria (2-dimensională)

Analog, în spațiul euclidian 3-dimensional, aria suprafeței (2-dimensională) a 2-sferei este

iar volumul închis de 3-bila unitate (3-dimensională), este

Proiecția stereografică

La fel cum o sferă bidimensională din spațiul tridimensional poate fi proiectată pe un plan bidimensional printr-o proiecție stereografică, o -sferă poate fi proiectată pe un hiperplan -dimensional de versiunea -dimensională a proiecției stereografice. De exemplu, punctul de pe o sferă bidimensională de rază 1corespunde punctului din planul . Altfel spus,

Analog, proiecția stereografică a unei -sfere de rază 1 va fi aplicată pe hiperplanul -dimensional perpendicular pe axa ca

Note

Bibliografie

Legături externe

Categorie:Geometrie multidimensională Categorie:Geometrie euclidiană Categorie:Sfere