dreapta|miniatura|392x392px| Catalog de curbe eliptice. Regiunea afișată este [−3,3]2 (pentru (a, b) = (0, 0) funcția nu este derivabilă și, prin urmare, nu este o curbă eliptică.)
În matematică, o curbă eliptică este o curbă algebrică , , de gen unu, pe care se află un punct specificat. O curbă eliptică este definită peste un corp și descrie punctele din , produsul cartezian al lui cu el însuși. Dacă corpul are caracteristica diferită de 2 și 3, atunci curba poate fi descrisă ca o care, după o schimbare liniară de variabile, constă din soluțiile (x, y) ale ecuației:
cu coeficienți și din . Curba trebuie să fie nesingulară, adică să nu aibă puncte de întoarcere sau auto-intersecții. (echivalent cu condiția ) Se înțelege întotdeauna că curba se află în , punctul fiind unicul punct de la infinit. Multe lucrări surse definesc curba eliptică drept pur și simplu o curbă dată de o ecuație de această formă. (Când are caracteristica 2 sau 3, ecuația de mai sus nu este suficient de generală pentru a include toate nesingulare)
O curbă eliptică este o adică are o operație de grup definită algebric, în raport cu care este un grup abelian și servește drept element neutru.
Dacă , unde este orice polinom de grad trei în cu rădăcini distincte, mulțimea soluțiilor este o curbă plană nesingulară de genul unu, o curbă eliptică. Dacă are gradul patru și este fără pătrate, această ecuație descrie din nou o curbă plană de genul unu. Totuși, nu are o alegere naturală a elementului neutru. Mai general, orice curbă algebrică de gen unu, de exemplu intersecția a două încorporate în spațiul proiectiv tridimensional, se numește curbă eliptică, cu condiția să fie echipată cu un punct marcat care să funcționeze drept element neutru.
Folosind teoria funcțiilor eliptice, se poate arăta că curbele eliptice definite peste numerele complexe corespund încastrărilor torului în planul proiectiv complex. Torul este și el un grup abelian, iar această corespondență este și .
Curbele eliptice sunt deosebit de importante în teoria numerelor și constituie actualmente un domeniu major de cercetare; de exemplu, au fost folosite în . Ele își găsesc aplicații și în (ECC) și la factorizarea numerelor întregi.
O curbă eliptică nu este o elipsă: vezi integrala eliptică pentru originea termenului. Topologic, o curbă eliptică complexă este un tor, în timp ce o elipsă complexă este o sferă.
Curbele eliptice peste numerele reale dreapta|cadru| Graficele curbelor și Deși definiția formală a unei curbe eliptice necesită un anumit fundament în geometria algebrică, unele caracteristici ale curbelor eliptice se pot descrie peste numerele reale folosind doar algebră și geometrie la nivel introductiv.
În acest context, o curbă eliptică este o curbă plană definită de o ecuație de forma
după o schimbare liniară de variabile ( și sunt numere reale). Acest tip de ecuație se numește .
Definiția curbelor eliptice necesită și ca această curba să fie nesingulară. Geometric, aceasta înseamnă că graficul nu are puncte de întoarcere, intersecții cu ea însăși sau puncte izolate. Algebric, acest lucru este valabil dacă și numai dacă
este diferit de zero. (Deși factorul −16 este irelevant pentru a determina dacă curba este sau nu nesingulară, această definiție a discriminantului este utilă într-un studiu mai avansat al curbelor eliptice.)
Graficul (real) al unei curbe nesingulare are două componente dacă discriminantul său este pozitiv și o singură componentă dacă este negativ. De exemplu, în graficele prezentate în figura din dreapta, discriminantul în primul caz este 64, iar în al doilea caz este −368.
Legea de grup Când lucrăm în , putem defini o structură de grup pe orice curbă cubică nesingulară. În forma normală Weierstrass, o astfel de curbă va avea un punct suplimentar la infinit, , la coordonatele omogene [0:1:0], care servește drept element neutru al grupului.
Deoarece curba este simetrică față de axa , dat fiind orice punct , se poate lua drept punct opus. va fi chiar .
Dacă și sunt două puncte pe curbă, atunci putem descrie în mod unic un al treilea punct, , în felul următor: mai întâi, se trasează linia care intersectează și . Ea va intersecta cubica într-un al treilea punct, . Se ia apoi drept , punctul opus lui .
Această definiție pentru adunare funcționează cu excepția câtorva cazuri speciale legate de punctul la infinit și de multiplicitatea intersecției. Primul este când unul dintre puncte este . Aici, definim , făcând din elementul neutru al grupului. Apoi, dacă și sunt opuse unul față de celălalt, definim . În cele din urmă, dacă , atunci avem doar un punct, deci nu putem defini dreapta dintre ele. În acest caz, se folosește tangenta la curbă în acest punct drept dreapta noastră. În majoritatea cazurilor, tangenta va intersecta un al doilea punct și i se va putea lua opusul. gen, dacă se întâmplă să fie un punct de inflexiune (un punct în care se modifică concavitatea curbei), luăm drept însuși și este pur și simplu punctul opus.
Pentru o curbă cubică care nu este în forma normală Weierstrass, se poate totuși defini o structură de grup prin desemnarea unuia dintre cele nouă puncte de inflexiune drept elementul neutru . În planul proiectiv, fiecare linie va intersecta un cub în trei puncte atunci când se ține cont de multiplicitate. Pentru un punct , este definit ca al treilea punct unic pe dreapta care trece prin și . Apoi, pentru orice și , este definit ca unde este al treilea punct unic pe linia care conține și .
Fie un corp peste care este definită curba (adică, coeficienții ecuației sau ecuațiilor de definiție a curbei sunt în ) și notăm curba cu . Atunci ale lui sunt punctele de pe ale căror coordonate se află în , inclusiv punctul de la infinit. Mulțimea punctelor raționale se notează cu . Și ea formează un grup, deoarece proprietățile ecuațiilor polinomiale arată că dacă este în , atunci este și el în și dacă două dintre , și sunt în , atunci și al treilea este. În plus, dacă este un subcorp al lui , atunci este un subgrup al lui .
Grupul de mai sus poate fi descris atât algebric cât și geometric. Dată fiind curba peste corpul (a cărui caracteristică presupunem că nu este nici 2, nici 3) și punctele și pe curbă, presupunem mai întâi că (primul panou de mai jos). Fie dreapta care intersectează P și Q, care are următoarea pantă:
Deoarece este un corp, este bine definită. Ecuația dreptei și ecuația curbei au un identic în punctele , și .
ceea ce e echivalent cu . Știm că această ecuație își are rădăcinile în exact aceleași valori ca și
pentru și rezolvăm pentru . rezultă din ecuația dreptei. Aceasta definește cu
Dacă , atunci există două opțiuni: dacă (al treilea și al patrulea panou de mai jos), inclusiv cazul în care (al patrulea panou), atunci suma este definită ca 0; astfel, inversul fiecărui punct de pe curbă se găsește reflectându-l față de axa . Dacă , atunci și (al doilea panou de mai jos cu indicat pentru ) este dat de
Curbele eliptice peste numerele complexe dreapta|miniatura| O curbă eliptică peste numerele complexe este obținută ca un coeficient al planului complex printr-o rețea Λ, aici cuprinsă de două perioade fundamentale ω1 și ω2 . Este figurată și patru-torsiunea, corespunzătoare rețelei 1/4 Λ conținând Λ. Formularea curbelor eliptice ca încorporarea unui tor în planul proiectiv complex rezultă în mod natural dintr-o curioasă proprietate a . Aceste funcții și prima lor derivată sunt legate prin formula
Aici, și sunt constante; este funcția eliptică Weierstrass și derivata sa. Devine evident că această relație este sub forma unei curbe eliptice (peste numerele complexe). Funcțiile Weierstrass sunt dublu periodice; adică sunt periodice față de o Λ; în esență, funcțiile Weierstrass sunt definite în mod natural pe un tor T = C/Λ. Acest tor poate fi încorporat în planul proiectiv complex prin intermediul aplicației
Această aplicație este un al torului (considerat cu structura sa naturală de grup) cu legea grupului de corzi și tangente pe curba cubică care este imaginea acestei aplicații. Este, de asemenea, un izomorfism de definit pe tor cu valori pe curba cubică, deci, topologic, o curbă eliptică este un tor. Dacă rețeaua Λ este legată prin multiplicare cu un număr complex nenul de o rețea Λ, atunci curbele corespunzătoare sunt izomorfe. Clasele de izomorfism ale curbelor eliptice sunt specificate de .
Clasele de izomorfism pot fi înțelese și într-un mod mai simplu. Constantele și , numite invarianți modulari, sunt determinate în mod unic de rețea, adică de structura torului. Cu toate acestea, toate polinoamele reale se factorizează complet în factori liniari peste numerele complexe, deoarece corpul numerelor complexe este închiderea algebrică a numerelor reale. Deci, curba eliptică poate fi scrisă ca
Se găsește că
și
astfel încât discriminantul modular este
Aici, λ este uneori numită .
Se observă că implică faptul că orice suprafață compactă Riemann de genul unu poate fi reprezentată ca un tor.
Acest lucru permite, de asemenea, o înțelegere ușoară a pe o curbă eliptică: dacă rețeaua Λ este cuprinsă de perioadele fundamentale ω1 și ω2, atunci punctele de n-torsiune sunt (clase de echivalență ale) punctelor de forma
pentru și numere întregi cuprinse între și .
Dacă este o curbă eliptică peste numerele complexe și , și , apoi o pereche de perioade fundamentale ale lui poate fi calculată foarte rapid prin și Unde este a lui și . La fiecare pas al iterației medii aritmetic-geometrice, semnele lui care rezultă din ambiguitatea iterațiilor geometrice medii sunt alese astfel încât Unde cu și se notează iterațiile individuale ale mediei aritmetice și geometrice ale lui și, respectiv, . Când , există o condiție suplimentară ca .
Peste numerele complexe, fiecare curbă eliptică are nouă puncte de inflexiune. Fiecare dreaptă ce unește două dintre aceste puncte trece, de asemenea, printr-un al treilea punct de inflexiune; cele nouă puncte și cele 12 drepte formate în acest mod formează o realizare a .
Curbele eliptice peste numerele raționale O curbă definită pe corpul numerelor raționale este definită la fel și peste cel al numerelor reale. Ca urmare, legea de compunere a punctelor cu coordonate reale prin intermediul metodei cu tangentă și secantă se poate aplica și la . Formulele explicite arată că compunerea a două puncte și cu coordonate raționale are tot coordonate raționale, deoarece dreapta care leagă de are coeficienți raționali. Astfel, se arată că mulțimea punctelor raționale ale lui formează un subgrup al grupului punctelor reale ale lui . Acest grup este grup abelian, adică .
Structura punctelor raționale Cel mai important rezultat este că toate punctele pot fi construite prin metoda tangentei și secantei începând de la un număr finit de puncte. Mai exact afirmă că grupul este grup abelian finit generat. Conform , este o sumă directă de cópii ale lui și a grupurilor ciclice finite.
Demonstrația acelei teoreme se bazează pe două ingrediente: în primul rând, se arată că pentru orice întreg , grupul factor este finit (teorema Mordell–Weil slabă). În al doilea rând, introduând o h pe punctele raționale definită prin expresia și dacă P (diferit de punctul de la infinit P0) are ca abscisă numărul rațional (cu și prime între ele). Această funcție h are proprietatea că crește aproximativ ca pătratul lui . Mai mult, există pe doar un număr finit de puncte raționale cu înălțime mai mică decât orice constantă dată.