În algebra abstractă o extindere normală este o extindere de corp algebric L/K pentru care fiecare polinom ireductibil peste K care are o rădăcină în L, se împarte în factori liniari în L. Acestea sunt una dintre condițiile pentru ca extinderile algebrice să fie o . Bourbaki numește o astfel de extindere o cvasiextindere Galois.
Definiție Fie o extindere algebrică (adică L este o extindere algebrică pe K), astfel încât (adică L este conținută într-o închidere algebrică a lui K). Apoi, următoarele condiții, care fiecare dintre ele poate fi considera drept o definiție a extinderii normale, sunt echivalente: Orice încorporare a L în induce un automorfism pe L. L este al familiei de polinoame din . Orice polinom ireductibil din care are o rădăcină în L se descompune în L în factori liniari.
Alte proprietăți Fie L o extindere pe corpul K. Atunci:
Dacă L este o extindere normală pe K și dacă E este o extindere intermediară (adică L ⊃ E ⊃ K), atunci L este o extindere normală pe E. Dacă E și F sunt extinderii normale pe K cuprinse în L, atunci EF și E ∩ F sunt și ele extinderi normale pe K.
Condiții echivalente pentru normalitate Fie algebrică. Corpul L este o extindere normală dacă și numai dacă sunt îndeplinite oricare dintre condițiile echivalente de mai jos. Polinomul minimal peste K al fiecărui element din L se descompune pe L; Există o mulțime a polinoamelor care simultan se descompun pe L, astfel încât sunt corpuri, atunci S are un polinom care nu se descompune pe F; Toate omomorfismele au aceeași imagine; Grupul de automorfisme al L care fixează elemente din K, acționează tranzitiv asupra setului de omomorfisme
Exemple și contraexemple De exemplu, este o extindere normală pe deoarece este corpul de descompunere al Pe de altă arte, nu este o extindere normală pe deoarece polinomul ireductibil are o rădăcină în el, , dar nu și pe toate (nu are rădăcinile cubice imaginare ale lui 2). Se reamintește că corpul al numerelor algebrice este închiderea algebrică a adică ea conține Deoarece
și, dacă este o rădăcină cubică primitivă a unității, atunci aplicația
este o încorporare a în a cărei restricție la este identitatea. Totuși, nu este un automorfism al
Pentru orice număr prim extinderea are in mod normal gradul Este corpul de descompunere al Aici semnifică a -a rădăcină primitivă a unității. Corpul este închiderea normală a
Închidere normală Dacă K este un corp iar L este o extindere algebrică pe K, atunci există o extindere algebrică M pe L astfel încât M este o extindere normală pe K. Mai mult, până la izomorfism, există o singură astfel de extindere care este minimală, adică singurul subcorp al M care conține L și a cărui extindere normală pe K este M însuși. Această extindere este numită închiderea normală a extinderii L pe K.
Dacă L este o extindere finită pe K, atunci extinderea sa normală este și ea o extindere finită.
Note
Bibliografie
Categorie:Teoria corpurilor