În algebra abstractă o submulțime a unui corp independentă algebric peste un subcorp dacă elementele din nu satisfac nicio ecuație polinomială netrivială cu coeficienți în .
În particular, un element al unei mulțimi este independent algebric peste dacă și numai dacă este transcendent peste . În general, toate elementele unei mulțimi independente algebric peste sunt necesar transcendente peste și peste toate extinderile peste generate de restul elementelor lui .
Exemplu Cele două numere reale și sunt fiecare numere transcendente: ele nu sunt rădăcinile vreunui polinom netrivial cu coeficienți raționali. Prin urmare, fiecare din cele două singletoane și sunt independente algebric peste corpul numerelor raționale .
În orice caz, mulțimea nu este independentă algebric peste numerele raționale deoarece polinomul netrivial
este zero pentru și .
Independența algebrică a unor constante Deși se știe că ambele și e sunt transcendente, nu se știe dacă mulțimea formată din ele este independentă algebric peste . De fapt nu se știe nici măcar dacă este irațional. Nesterenko a demonstrat în 1996 că: numerele , și Γ(1/4) sunt independente algebric peste . numerele , și Γ(1/3) sunt independente algebric peste . pentru toți întregii pozitivi , numerele și sunt independente algebric peste .
Teorema Lindemann–Weierstrass poate fi folosită adesea pentru a demonstra că unele mulțimi sunt independente algebric peste Se afirmă că ori de câte ori sunt numere algebrice acestea sunt peste , ca urmare sunt și ele independente algebric peste .
Matroizi algebrici Fiind dată o extindere de corp care nu este algebrică, Lema lui Zorn poate fi utilizată pentru a arăta că există întotdeauna o submulțime maximă independentă algebric a peste . Mai mult, toate submulțimile maxime independente algebric au aceeași cardinalitate, cunoscută sub numele de grad de transcendență al extinderii.
Pentru orice mulțime de elemente ale , submulțimile independente algebric din satisfac axiomele care definesc mulțimile independente ale unui . În acest matroid, rangul unei mulțimi este gradul său de transcendență, iar subspațiul generat de mulțimea de elemente este intersecția lui cu corpul . Un matroid care poate fi generat în acest mod se numește matroid algebric. Nu există o caracterizare bună a matroizilor algebrici, dar se știe că unii matroizi nu sunt algebrici; cel mai mic este matroidul Vámos.
Mulți matroizi finiți pot fi printr-o matrice peste corpul , în care elementele matroidului corespund coloanelor matricii, iar mulțimea elementelor este independentă dacă mulțimea corespunzătoare a coloanelor este independentă liniar. Orice matroid cu o reprezentare liniară de acest tip poate fi reprezentat și ca un matroid algebric, prin alegerea unei nedeterminate pe fiecare rând al matricii, și folosirea coeficienților matricii în fiecare coloană pentru a atribui fiecărui element al matroidului o combinație liniară a acestor transcendente. Inversa este falsă: nu orice matroid algebric are o reprezentare liniară.
Note
Legături externe
Categorie:Algebră abstractă Categorie:Teoria matroizilor