thumb|Trapez circumscriptibil În geometria euclidiană un trapez circumscriptibil este un trapez ale cărui patru laturi sunt toate tangente la cercul înscris în trapez. Este cazul particular al unui patrulater circumscriptibil în care o pereche de laturi opuse sunt paralele. Ca și în cazul altor trapeze, laturile paralele sunt numite baze. Laturile neparalele pot fi egale (la trapezele circumscriptibile isoscele), dar nu este obligatoriu să fie.

Caracteristici Dacă cercul este tangent la laturile și în și, respectiv, în , atunci un patrulater circumscriptibil este un trapez cu laturile paralele și dacă și numai dacă

iar și sunt laturile paralele ale trapezului dacă și numai dacă

Arie Expresia ariei unui trapez poate fi simplificată folosind teorema lui Pitot pentru a o aplica unui trapez circumscriptibil. Dacă bazele au lungimile și , iar oricare dintre celelalte două laturi au lungimea , atunci aria este dată de formula (valabilă doar dacă bazele sunt paralele, dar trapezul satisface cerința) H. Lieber and F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben, Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154.

Aria poate fi calculată în funcție de lungimile tangentelor cu formula

Raza cercului înscris Cu aceleași notații de la arie, raza cercului înscris este

Raza cercului înscris poate fi calculată și în funcție de lungimile tangentelor,

unde sunt lungimile segmentelor dintre vârfurile și punctele de tangență.

Dacă bazele sunt și , atunci raza cercului înscris poate fi calculată și cu formula

Diametrul cercului înscris este egal cu înălțimea trapezului (circumscriptibil).

Proprietățile centrului cercului înscris Dacă cercul este tangent la baze în punctele și , atunci și , unde este centrului cercului înscris, sunt coliniare. J. Wilson, Problem Set 2.2 , The University of Georgia, 2010

În trapezul circumscriptibil cu bazele și unghiurile și sunt unghiuri drepte.

Alte proprietăți Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele (bimediana) are lungimea egală cu un sfert din perimetrul trapezului. De asemenea, este egal cu jumătate din suma bazelor, ca în toate trapezele.

Dacă se trasează două cercuri, fiecare cu un diametru care coincide cu laturile neparalele ale trapezului circumscriptibil, atunci aceste două cercuri sunt tangente unul la celălalt. Chernomorsky Lyceum, Inscribed and circumscribed quadrilaterals , 2010

Trapez dreptunghic circumscriptibil thumb|Trapez dreptunghic circumscriptibil Un trapez dreptunghic circumscriptibil este un trapez circumscriptibil în care două unghiuri adiacente sunt unghiuri drepte. Dacă bazele au lungimile a și b, atunci raza cercului înscris este Circle inscribed in a trapezoid, Art of Problem Soving, 2011

Deci diametrul cercului înscris este media armonică a bazelor.

Aria trapezului dreptunghic circumscriptibil este

iar perimetrul său este

Trapez isoscel circumscriptibil thumb| Orice trapez isoscel circumscriptibil este un patrulater bicentric Un trapez isoscel circumscriptibil este un trapez circumscriptibil în care laturile neparalele sunt egale. Deoarece un trapez isoscel este și un patrulater inscriptibil, un trapez isoscel circumscriptibil este un patrulater bicentric. Adică are atât un cerc înscris, cât și un cerc circumscris.

Dacă bazele sunt și , atunci raza cercului înscris este MathDL, Inscribed circle and trapezoid, The Mathematical Association of America, 2012, .

Obținerea acestei formule a fost o simplă problemă Sangaku din Japonia. Din teorema lui Pitot rezultă că lungimea unei laturi neparalele este jumătate din suma lungimilor bazelor. Deoarece diametrul cercului înscris este rădăcina pătrată a produsului bazelor, un trapez isoscel circumscriptibil oferă o interpretare geometrică frumoasă a mediei aritmetice și mediei geometrice a bazelor ca lungimea unei laturi care nu este o bază și respectiv diametrul cercului înscris (înălțimea trapezului, distanța dintre baze).

Aria K a unui trapez isoscel circumscriptibil cu bazele și este dată de Abhijit Guha, CAT Mathematics, PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.

Note

Categorie:Patrulatere