În geometria tridimensională, există patru serii infinite de (n≥1) cu simetrie de rotație sau de reflexie de n ori în jurul unei axe (cu un unghi de 360°/n) care nu schimbă obiectul.
Ele sunt grupurile de simetrie finite pe un con. Pentru n = ∞ ele corespund la patru grupuri ale frizelor. Se folosește notația Schönflies. Termenii orizontal (h) și vertical (v) descriu existența și direcția reflexiilor față de o axă verticală de simetrie. De asemenea, sunt indicate notația Coxeter între paranteze drepte și notația orbifold între paranteze rotunde.
thumb|Exemplu de arbore de subgrup de simetrie pentru simetrie diedrală: D4h, [4,2], (*224)
Tipuri Chirală Cn, [n]+, ('n'n) de ordinul n – simetrie de rotație de n ori sau grup acro-n-gonal (grup abstract: ) × Dih1); pentru n=1 aceasta este notată Cs (1*)' și numită simetrie de reflexie (în biologie, simetrie bilaterală). Are simetrie de reflexie de n ori față de un plan perpendicular pe axa de rotație. Cnv, [n], (*nn) de ordinul 2n - simetrie piramidală sau grup complet acro-n-gonal (grup abstract: Dihn); în biologie C2v este numit simetrie biradială. Pentru n=1 avem din nou Cs (1*). Are plane verticale de simetrie. Acesta este grupul de simetrie pentru o piramidă regulată cu n laturi.
S2n, [2+,2n+], (n×) de ordinul 2n - grup giro-n-gonal (a nu se confunda cu , pentru care se folosește aceeași notație; grup abstract: Z2n). Are o axă de rotație improprie de 2n ori, adică grupul de simetrie conține o combinație a unei reflexii în plan orizontal și o rotație cu un unghi de 180°/n. Astfel, Dnd, conține un număr de rotații improprii fără a conține și rotațiile corespunzătoare. pentru n=1 avem S2 (1×), notat și cu Ci ; aceasta este simetria față de centru.C2h, [2,2+] (2*) și C2v, , (*22) de ordinul of order 4 sunt două dintre cele trei tipuri de grupuri de simetrie tridimensională cu grupul lui Klein ca grup abstract. C2v se aplică, de exemplu, la o pavare dreptunghiulară cu partea superioară diferită de partea inferioară.
Grupuri ale frizelor La limită, aceste patru grupuri reprezintă grupuri ale frizelor plane euclidiene ca C∞, C∞h, C∞v și S∞. La limită rotațiile devin translații. De asemenea, porțiuni din planul infinit pot fi decupate și conectate sub forma unui cilindru infinit.
+ Grupuri ale frizelorNotațiiExempleIUC OrbifoldCoxeterSchönflies*Plan euclidianCilindric (n = 6)p1∞∞[∞]+C∞150px150pxp1m1*∞∞[∞]C∞v150px150pxp11m∞*[∞+,2]C∞h150px150pxp11g∞×[∞+,2+]S∞150px150px
Exemple {| class=wikitable width=400 style="text-align:center;" !S2/Ci (1x):!colspan=2|C4v (*44): !C5v (*55):''' |- |100pxParalelipiped |100pxPiramidă pătrată |100pxPiramidă pătrată alungită |100pxPiramidă pentagonală
Bibliografie
On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Chapter 11: Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups
Vezi și
Simetrie diedrală în spațiul tridimensional
Categorie:Simetrie Categorie:Teoria grupurilor