thumb|Grupul de simetrie al unui fulg de zăpadă este D6, o simetrie diedrală, la fel ca aceea a hexagonului regulat thumb|Cele șase axe de simetrie de reflexie a hexagonului regulat În matematică un grup diedral este grupul de simetrii al unui poligon regulat, care include rotații și reflexii. Grupurile diedrale sunt printre cele mai simple exemple de grupuri finite și joacă un rol important în teoria grupurilor, geometrie și chimie.

Notația pentru grupul diedral diferă în geometrie față de cea din algebra abstractă. În geometrie sau se referă la simetriile unui -gon, un grup de ordinul . În algebra abstractă, se referă la același grup diedral. În acest articol se folosește convenția geometrică a notației.

Definiție Elemente Un poligon regulat cu laturi are simetrii diferite: simetrii de rotație și simetrii de reflexie. De obicei, aici se consideră . Rotațiile și reflexiile asociate formează grupul diedral . Dacă este impar, fiecare axă de simetrie conectează punctul de mijloc al unei laturi de vârful opus. Dacă este par, există axe de simetrie care leagă punctele de mijloc ale laturilor opuse și axe de simetrie care leagă vârfuri opuse. În ambele cazuri, există axe de simetrie și elemente în grupul de simetrie. Reflexia față de o axă de simetrie urmată de reflexia față de o altă axă de simetrie produce o rotație de două ori mai mare decât unghiul dintre aceste axe.

Următoarea imagine arată efectul celor șaisprezece elemente ale lui asupra unui : 550px

Primul rând arată efectul celor opt rotații, iar al doilea rând arată efectul celor opt reflexii, acționând în fiecare caz asupra indicatorului de oprire cu orientarea așa cum se arată în stânga sus.

Structura grupului Ca pentru orice figură geometrică, a două simetrii ale unui poligon regulat este și ea o simetrie a acelui obiect. Compunerea simetriilor este o operație binară care dă simetriilor unui poligon structura algebrică a unui grup finit.

thumb|Axele de reflexie etichetate S0, S1 și S2 rămân fixe în spațiu (pe pagină) și nu se mișcă ele însele atunci când se face o operație de simetrie (rotire sau reflexie) asupra triunghiului (acest lucru contează când se fac compuneri de simetrii) thumb|Compunerea acestor două reflexii este o rotație Următoarea arată efectul compunerii în grupul D3 (simetriile unui triunghi echilateral). Cu r0 se notează identitatea; cu r1 și r2 rotațiile în sens antiorar cu 120°, respectiv 240° și cu s0, s1 și s2 reflexiile față de cele trei axe prezentate în imaginea alăturată.

r0r1r2s0s1s2r0 r0 r1 r2 s0 s1 s2r1 r1 r2 r0 s1 s2 s0r2 r2 r0 r1 s2 s0 s1s0 s0 s2 s1 r0 r2 r1s1 s1 s0 s2 r1 r0 r2s2 s2 s1 s0 r2 r1 r0

De exemplu, 21 = 1 deoarece reflexia 1 urmată de reflexia 2 dă rotația cu 120°. Ordinea elementelor de compunere este de la dreapta la stânga, conform convenției că elementul acționează asupra expresiei din dreapta sa. Operația de compunere nu este comutativă.

În general, grupul are elementele 0, ..., n−1 și 0, ..., n−1, cu compunerea dată de formulele următoare:

În toate cazurile adunarea și scăderea indicilor trebuie efectuate modulo .

Grupuri diedrale mici thumb|350px|Exemple de subgrupuri dintr-o simetrie diedrică hexagonală este izomorf cu , de ordinul 2. este izomorf cu , grupul lui Klein. și sunt excepționale prin faptul că: și sunt singurele grupuri abeliene diedrale. Celelalte, , nu sunt abeliene. este un subgrup al pentru . Deoarece , este prea mare pentru a fi un subgrup pentru și . Grupul de este trivial, în timp ce pentru alte valori pare ale lui , aceasta este .

ale grupurilor diedrale constau dintr-un ciclu de n elemente și n cicluri de 2 elemente. Vârful (punctul) negru din grafurile ciclice de mai jos ale diferitelor grupuri diedrale reprezintă elementul neutru, iar celelalte vârfuri sunt celelalte elemente ale grupului. Un ciclu constă din puteri succesive ale oricăruia dintre elementele conectate la elementul neutru. + Grafuri ciclice D1 = Z2 D2 = Z22 = K4 D3 D4 D5 100px 100px 100px 100px 100px 100px 100px 100px 100px 100px D D × Z D D8 D9 D D × Z

D3 = S3 D4 240px 240px

Grupul diedral ca grup de simetrie în spațiul bidimensional și grup de rotație în spațiul tridimensional Un exemplu de grup abstract n, și o modalitate obișnuită de a-l vizualiza este grupul de izometrie al planului euclidian care păstrează originea fixă. Aceste grupuri formează una dintre cele două serii de grupuri punctuale discrete în spațiul bidimensional. constă din rotații de multipli de în jurul originii și reflexii față de axe care trec prin origine, făcând unghiuri de multipli de una cu cealaltă. Acesta este grupul de simetrie al unui poligon regulat cu laturi (pentru ; aceasta se extinde la cazurile și în care avem un plan cu un punct deplasat față de „centrul” „1-gonului”, și un „2-gon”, adică un segment).

este de o rotație de ordinul și o reflexie de ordinul 2 astfel încât

În termeni geometrici: în oglindă o rotație arată ca o rotație în sens invers.

În ceea ce privește numerele complexe: operația corespunde înmulțirii cu și conjugării complexe.

În formă matricială, punând

și definind și pentru se poate scrie regula produsului lui Dn ca

Grupul diedral D2 este generat de rotația de 180° și reflexia pe axa x. Elementele lui D2 pot fi apoi reprezentate ca , unde este elementul neutru sau transformarea nulă, iar este reflexia față de axa y.

thumb|500px|Cele patru elemente ale D2 (aici axa x este verticală)Identic (e), rotit cu 180° (r), reflectat (f), rotit și reflectat (rf)

D2 este izomorf cu grupul lui Klein.

Pentru n > 2 operațiile de rotație și reflexie nu sunt comutative în general și Dn nu este abelian. De exemplu, în D4, o rotație de 90° urmată de o reflexie dă un rezultat diferit de o reflexie urmată de o rotație de 90°.

thumb|500px|D4 nu este abelian (aici axa x este verticală)rotit cu 90°, reflectat, reflectat după y, reflectat după y și rotit cu 90°

Astfel, dincolo de aplicarea lor evidentă la problemele de simetrie în plan, aceste grupuri sunt printre cele mai simple exemple de grupuri neabeliene și, ca atare, apar frecvent drept contraexemple ușoare ale teoremelor care sunt limitate la grupurile abeliene.

Elementele ale lui pot fi scrise ca , , , ... , , , , , ... , . Primele elemente enumerate sunt rotații, iar restul de elemente sunt reflexii față de axă (toate au ordinul 2). Compunerea a două rotații sau două reflexii este o rotație; compunerea unei rotații și a unei reflexii este o reflexie.

Exemple de simetrie diedrală în spațiul bidimensional

Notă explicativă

Note

Legături externe Dihedral Group n of Order 2n by Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project. Dihedral group at Groupprops

Dihedral groups on GroupNames

Categorie:Simetrie Categorie:Teoria grupurilor