În matematică polinoamele aditive sunt un subiect important în .
Definiție Fie un corp de numere prime cu caracteristica . Un polinom () cu coeficienți în se numește polinom aditiv sau polinom Frobenius dacă
ca polinoame în și . Este echivalent să se presupună că această egalitate este valabilă pentru toate și într-un corp infinit care conține , cum ar fi închiderea sa algebrică.
Ocazional, termenul de aditiv absolut este folosit pentru condiția de mai sus, iar aditiv este folosit pentru condiția mai slabă pentru toate și din corp. Pentru corpuri infinite condițiile sunt echivalente, dar pentru corpurile finite nu sunt, iar condiția mai slabă este „greșită”, deoarece nu se comportă bine. De exemplu, peste un corp de ordin orice multiplu al lui va satisface pentru toate și din domeniu, dar de obicei nu vor fi (absolut) aditive.
Exemple Polinomul este aditiv. Într-adevăr, pentru orice și din închiderea algebrică a lui din binomul lui Newton avem
Deoarece este prim, pentru toți = 1, ... , −1 coeficientul binomial este divizibil cu , ceea ce implică
ca polinoame în și .
Similar, toate polinoamele de forma
sunt aditive, unde este un număr întreg nenegativ.
Definiția are sens chiar dacă este un corp de caracteristică 0, dar în acest caz singurele polinoame aditive sunt cele de forma pentru unele din .
Inelul polinoamelor aditive Este relativ ușor de demonstrat că orice combinație liniară de polinoame cu coeficienți în este un polinom aditiv. O întrebare interesantă este dacă există și alte polinoame aditive, cu excepția acestor combinații liniare. Răspunsul este că acestea sunt singurele.
Se poate arăta că dacă () și () sunt polinoame aditive, atunci la fel sunt și și . Acestea implică faptul că polinoamele aditive formează un inel pentru adunarea polinoamelor și . Acest inel este notat
Acest inel nu este comutativ decât dacă este corpul . Într-adevăr, fir polinoamele aditive și pentru un coeficient din . Pentru ca ele să fie comutative la compunere, trebuie să avem
și prin urmare Acest lucru este fals dacă nu este o rădăcină a acestei ecuații, adică pentru în afara
Teorema fundamentală a polinoamelor aditive Fie () un polinom cu coeficienți în și mulțimea rădăcinile sale. Presupunând că rădăcinile lui () sunt distincte (adică () este un polinom separabil), atunci () este aditiv dacă și numai dacă mulțimea formează un subgrup.
Bibliografie David Goss, Basic Structures of Function Field Arithmetic, 1996, Springer, Berlin. .
Legături externe
Categorie:Polinoame Categorie:Teoria corpurilor Categorie:Teoria numerelor