În matematică, o transformare geometrică este o noțiune similară cu operație algebrică, în care operanzii sunt elemente geometrice. Este o bijecție a unei mulțimi pe sine (sau pe o altă astfel de mulțime) cu caracteristici geometrice importante. Mai precis, este o funcție al cărei domeniu și interval sunt mulțimi de puncte — cel mai adesea ambele din sau ambele din — astfel încât funcția să fie injectivă și funcția inversă să existe. Zalman Usiskin, Anthony L. Peressini, Elena Marchisotto, Mathematics for High School Teachers: An Advanced Perspective, page 84. Studiul geometriei poate fi abordat prin studiul acestor transformări care sunt utilizate ca operații matematice în construirea diferitelor forme geometrice. Inițierea acestei abordări în învățământul preuniversitar din URSS se datorează matematicianului sovietic Andrei KolmogorovAlexander Karp & Bruce R. Vogeli – Russian Mathematics Education: Programs and Practices, Volume 5, pgs. 100–102.
Exemple: rotație, translație etc.
Geometria modernă utilizează masiv această noțiune.
Clasificări Transformările geometrice pot fi clasificate în funcție de numărul operanzilor (deosebind astfel, de exemplu, transformările din plan și transformările din spațiul tridimensional). De asemenea, ele pot fi clasificate în funcție de proprietățile pe care le conservă: DeplasărileLeon Țâmbulea, Grafică pe calculator: 3. Elemente de geometrie computațională. Sisteme de coordonate. Transformări 3D., Universitatea Babeș-Bolyai, 2012, accesat 2022-03-07 conservă distanțele și unghiurile orientate (de exemplu translațiile); Izometriile conservă distanțele și unghiurile (de exemplu transformările euclidiene); Marcel Berger (2010), Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry, Ed. Springer, , p. 131 Asemănările conservă unghiurile și raporturile dintre distanțe (de exemplu scalările); conservă paralelismul (de exemplu scalările, forfecările); conservă coliniaritatea; Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs (2005), The Grammar of Graphics, Ed. Springer, , p. 182
Fiecare dintre aceste clase o conține pe cea anterioară.
Transformările Möbius, care utilizează coordonate în planul complex (precum și ), păstrează mulțimea tuturor dreptelor și cercurilor, dar pot interschimba drepte și cercuri.
Transformările conforme conservă unghiurile și sunt, în primul rând, asemănări. Transformările echiareale, conservă ariile în cazurile bidimensionale sau volumele în cazurile tridimensionale Bruce Elwyn Meserve (1955), Fundamental Concepts of Geometry, doverpublications.com, e, p. 191 și sunt, în primul rând, transformări afine cu determinantul 1. Homeomorfismele (transformări bicontinue) consevă vecinătățile punctelor. Difeomorfismele (transformări bidiferențiabile) sunt transformări care în primul rând sunt afine; le conțin pe cele precedente drept cazuri particulare și pot fi detaliate în continuare.
Transformările de același tip formează grupuri care pot fi subgrupuri ale altor grupuri de transformări.
Note
Lectură suplimentară
Zoltán Pál Dienes, Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder. David Gans – Transformations and geometries.
John McCleary – Geometry from a Differentiable Viewpoint. Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . Geometric Transformations (2 vols.): Euclidean and Affine Transformations, and Projective Transformations. New York: Academic Press. A. N. Pressley – Elementary Differential Geometry. Isaak Yaglom (1962, 1968, 1973, 2009) . Geometric Transformations (4 vols.). Random House (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).
Legături externe
Categorie:Geometrie Categorie:Funcții matematice Categorie:Simetrie Categorie:Transformări