thumb|Domeniile fundamentale ale simetriei icosaedrice thumb|right| Minge de fotbal, un exemplu comun de icosaedru trunchiat sferic, are simetrie icosaedrică completă thumb|Rotațiile și reflexiile formează grupul de simetrie al marelui icosaedru Simetria icosaedrică este cea a icosaedruui regulat, care are 60 de simetrii de rotație (care conservă orientarea) și 120 de simetrii în total. Acestea includ transformări care combină o reflexie și o rotație. Un dodecaedru are același set de simetrii, deoarece este dualul icosaedrului.
Grupul de simetrie completă (inclusiv reflexiile) este cunoscut sub numele de grupul Coxeter H3 și este reprezentat prin notația Coxeter [5,3] și diagrama Coxeter . Setul de simetrii care conservă orientarea formează un subgrup care este izomorf cu grupul A5 (grupul altern de 5 elemente).
Ca grup punctual În afară de cele două serii infinite de simetrie prismatică și antiprismatică, simetria icosaedrică de rotație sau simetria icosaedrică chirală a obiectelor chirale și simetria icosaedrică completă sau simetria icosaedrică achirală sunt simetrii de puncte discrete (sau, echivalent, simetrii pe sferă) cu cele mai mari grupuri de simetrie.
Simetria icosaedrică nu este compatibilă cu simetria de translație, așa că nu există grupuri de puncte cristalografice sau asociate.
SchoenfliesCoxeterOrbifoldStructurăabstractăOrdinI[5,3]+532A560Ih[5,3]*532A5×2120
corespunzătoare celor de mai sus sunt:
Acestea corespund grupurilor icosaedrice (de rotație și complete) fiind (2,3,5).
Prima prezentare a fost făcută de William Rowan Hamilton în 1856, în lucrarea sa despre calculul icosian.
Sunt posibile și alte prezentări, de exemplu ca grup altern (pentru I).
Vizualizări Schoe.(Orb.)CoxeterElementeDiagrame de oglindiriOrtogonalProiecție stereograficăIh (*532) [5,3] Drepte deoglindire:15 120px150px150px150pxI(532) Fișier:Coxeter_diagram_chiral_icosahedral_group.png[5,3]+Puncte degirație:12512px20312px30212px120px150px12px150px12px150px12px
Structura grupului 160px200pxLaturile unui compus de cinci octaedre sferic reprezintă cele 15 plane de oglindire ca cercuri mari colorate. Fiecare octaedru poate reprezenta 3 plane de oglindire ortogonale care conțin laturile sale.160px200pxSimetria piritoedrică este un subgrup cu indice 5 de simetrie icosaedrică, cu 3 linii de reflexie ortogonale verzi și 8 puncte de rotație de ordinul 3 roșii. Există 5 orientări diferite ale simetriei piritoedrice. Grupul de rotație icosaedric I este de ordinul 60. Grupul I este izomorf cu A5, grupul altern al permutărilor pare a cinci obiecte. Acest izomorfism poate fi realizat prin I care acționează asupra diverșilor compuși, în special compusul de cinci cuburi (care se înscrie în dodecaedru), compusul de cinci octaedre, sau oricare dintre cei doi compuși de cinci tetraedre (care sunt enantiomorfi, și se înscriu în dodecaedru).
Grupul conține 5 versiuni de Th cu 20 de versiuni de D3 (10 axe, 2 pe axă) și 6 versiuni de D5.
Grupul icosaedric complet Ih are ordinul 120. Are I ca de 2. Grupul Ih este izomorf la I × Z2 sau A5 × Z2, cu inversiunea față de centru corespunzătoare elementului (identitate, −1), unde Z2 se scrie multiplicativ.
Ih acționează asupra compusului de cinci cuburi și compusului de cinci octaedre, dar −1 acționează ca identitate (deoarece cuburile și octaedrele au simetrie față de centru). Acționează asupra compusului de zece tetraedre: I acționează asupra celor două jumătăți chirale (compușii de cinci tetraedre), iar −1 interschimbă cele două jumătăți. De remarcat că el nu acționează ca S5, iar aceste grupuri nu sunt izomorfe.
Grupul conține 10 versiuni de D3d și 6 versiuni de D5d (simetrii ca ale antiprismelor).
I este izomorf și cu PSL2(5), dar Ih nu este izomorf cu SL2(5).
Izomorfismul lui I cu A5 Este util să se descrie explicit cum arată izomorfismul dintre I și A5. În tabelul următor permutările Pi și Qi acționează asupra a 5 și respectiv 12 elemente, în timp ce matricile de rotație Mi sunt elementele I. Dacă Pk este produsul permutării Pi cu aplicarea Pj, atunci pentru aceleași valori ale lui i, j și k este adevărat și că Qk este produsul Qi cu aplicarea Qj, și că înmulțirea unui vector cu Mk este același lucru cu înmulțirea acelui vector cu Mi și apoi înmulțirea acelui rezultat cu Mj, adică Mk = Mj × Mi. Deoarece permutările Pi sunt toate cele 60 de permutări pare ale lui 1 2 3 4 5, corespondența unu-la-unu este explicită, deci și izomorfismul. Matrice de rotațiePermutare de 5pe 1 2 3 4 5Permutare de 12pe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 = () = () = (3 4 5) = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10) = (3 5 4) = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7) = (2 3)(4 5) = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11) = (2 3 4) = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12) = (2 3 5) = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12) = (2 4 3) = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11) = (2 4 5) = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9) = (2 4)(3 5) = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10) = (2 5 3) = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8) = (2 5 4) = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11) = (2 5)(3 4) = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12) = (1 2)(4 5) = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12) = (1 2)(3 4) = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12) = (1 2)(3 5) = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9) = (1 2 3) = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8) = (1 2 3 4 5) = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11) = (1 2 3 5 4) = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9) = (1 2 4 5 3) = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11) = (1 2 4) = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12) = (1 2 4 3 5) = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4) = (1 2 5 4 3) = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9) = (1 2 5) = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10) = (1 2 5 3 4) = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12) = (1 3 2) = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10) = (1 3 4 5 2) = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8) = (1 3 5 4 2) = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12) = (1 3)(4 5) = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9) = (1 3 4) = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7) = (1 3 5) = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11) = (1 3)(2 4) = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10) = (1 3 2 4 5) = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9) = (1 3 5 2 4) = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8) = (1 3)(2 5) = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12) = (1 3 2 5 4) = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12) = (1 3 4 2 5) = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12) = (1 4 5 3 2) = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7) = (1 4 2) = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9) = (1 4 3 5 2) = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8) = (1 4 3) = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11) = (1 4 5) = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12) = (1 4)(3 5) = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11) = (1 4 5 2 3) = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10) = (1 4)(2 3) = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11) = (1 4 2 3 5) = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10) = (1 4 2 5 3) = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7) = (1 4 3 2 5) = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6) = (1 4)(2 5) = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8) = (1 5 4 3 2) = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12) = (1 5 2) = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11) = (1 5 3 4 2) = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6) = (1 5 3) = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12) = (1 5 4) = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10) = (1 5)(3 4) = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7) = (1 5 4 2 3) = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3) = (1 5)(2 3) = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9) = (1 5 2 3 4) = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5) = (1 5 2 4 3) = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10) = (1 5 3 2 4) = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11) = (1 5)(2 4) = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)
Grupuri frecvent confundate Toate grupurile următoare sunt de ordinul 120, dar nu sunt izomorfe: S5, grupul simetric de 5 elemente; Ih, grupul icosaedric complet (subiectul acestui articol, cunoscut și ca H3); 2I, . Acestea corespund următoarelor secvențe:
. În cuvinte, este subgrupul normal al ; este factorul lui , care este ; este grupul factor al De observat că are o reprezentare tridimensională ireductibilă (ca grupul icosaedric de rotație), dar nu are o reprezentare tridimensională ireductibilă, corespunzătoare grupului icosaedric complet nefiind grupul simetric.
De asemenea, acestea pot fi legate de grupuri liniare peste corpuri finite cu cinci elemente, care prezintă subgrupurile și grupurile de acoperire direct; niciunul dintre acestea nu este grupul icosaedric complet: special; grupul proiectiv liniar general; .
Clase de conjugare Cele 120 de simetrii se încadrează în 10 clase de conjugare. + Clase de conjugare Iclase suplimentare ale Ih identitate, de ordinul 1; 12 × rotație de ±72°, de ordinul 5, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului; 12 × rotație de ±144°, de ordinul 5, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului; 20 × rotație de ±120°, de ordinul 3, în jurul celor 10 axe prin vârfurile dodecaedrului; 15 × rotație de 180°, de ordinul 2, în jurul celor 15 axe prin mijloacele laturilor dodecaedrului. inversiune față de centru, de ordinul 2 12 × reflexii improprii de ±36°, de ordinul 10, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului; 12 × reflexii improprii de ±108°, de ordinul 10, în jurul celor 6 axe prin centrele fețelor dodecaedrului; 20 × reflexii improprii de ±60°, de ordinul 6, în jurul celor 10 axe prin vârfurile dodecaedrului; 15 × reflexii, de ordinul 2, față de 15 plane care conțin laturile dodecaedrului.
Subgrupuri ale grupului de simetrie icosaedrică completă 320px|thumb|Relațiile subgrupului thumb|Relațiile subgrupului chiral
Fiecare linie din următorul tabel reprezintă o clasă de subgrupuri conjugate (adică, echivalente geometric). Coloana „Mult.” (multiplicitatea) dă numărul de subgrupuri diferite din clasa de conjugare. Legenda culorilor: verde = grupurile care sunt generate de reflexii, roșu = grupurile chirale (care conservă orientarea), care conțin doar rotații.
Grupurile sunt descrise geometric în termeni de dodecaedru. Abrevierea „j.î.s.(latură)” înseamnă „jumătate de întoarcere interschimbând această latură cu latura opusă ei” și, similar, pentru „față” și „vârf”. Schoe.CoxeterOrb.H-MStructurăCiclicOrdinIndexMult.DescriereIh[5,3]*5322/mA5×Z2 12011grup completD2h[2,2]*222mmmD4×D2=D2325px 8155menținând fixe două laturi opuse, eventual interschimbându-leC5v *55 5mD1025px 10 126menținând fixă o fațăC3v *33 3mD6=S325px 6 2010menținând fix un vârfC2v *22 2mmD4=D2225px 4 3015menținând fixă o fațăCs [ ] * or mD225px 2 6015reflexie interschimbând capetele unei laturiTh[3+,4]3*2mA4×Z225px 2455grup piritoedricD5d [2+,10] 2*5 m2D20=Z2×D1025px 20 66menținând fixe două laturi opuse, eventual interschimbându-leD3d [2+,6] 2*3 mD12=Z2×D625px12 1010menținând fixe două vârfuri opuse, eventual interschimbându-le D1d = C2h [2+,2] 2* 2/mD4=Z2×D225px4 3015jumătate de rotație în jurul punctului din mijloc, plus inversiune față de centruS10 [2+,10+] 5× Z10=Z2×Z525px10 126rotație a unei fețe, plus inversiune față de centruS6 [2+,6+] 3× Z6=Z2×Z325px6 2010rotație în jurul unui vârf, plus inversiune față de centruS2 [2+,2+] × Z225px2 601inversiune față de centruI[5,3]+532532A5 6021toate rotațiileT[3,3]+332332A4 25px 12105rotații ale unui tetraedru conținutD5[2,5]+522522D1025px10126rotații în jurul centrului unei fețe și j.î.s.(față)D3[2,3]+322322D6=S325px62010rotații în jurul unui vârf, și j.î.s.(vârf)D2[2,2]+222222D4=Z2225px43015jumătate de întoarcere în jurul punctului de mijloc al laturii și j.î.s.(latură)C5+555Z525px5246rotații în jurul centrului unei fețeC3+333Z3=A325px34010rotații în jurul unui vârfC2+222Z225px26015jumătate de întoarcere în jurul punctului de mijloc al laturiiC1[ ]+111Z125px11201grup trivial
Stabilizatori de vârfuri Stabilizatorii unei perechi opuse de vârfuri pot fi interpretați ca stabilizatori ai axei pe care o generează. generate. stabilizatorii de vârfuri din I generează grupuri ciclice C3; stabilizatorii de vârfuri din Ih generează grupuri diedrale D3; stabilizatorii unei perechi de vârfuri opuse din I generează grupuri diedrale D3; stabilizatorii unei perechi de vârfuri opuse din Ih generează .
Stabilizatori de laturi Stabilizatorii unei perechi opuse de laturi pot fi interpretați ca stabilizatori ai dreptunghiului pe care îl generează. stabilizatorii de laturi din I generează grupuri ciclice Z2; stabilizatorii de laturi din Ih generează grupuri Klein de patru ;