thumb|Dual: Hexaedru tetrakis În geometrie octaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Se obține dintr-un octaedru regulat prin îndepărtarea a șase piramide, câte una la fiecare vârf al octaedrului. Are 14 fețe regulate (6 pătrat și 8 fețe hexagonale), 36 de laturi și 24 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, octaedrul trunchiat este un zonoedru. La fel cu cubul, poate tesela spațiul tridimensional, ca un permutoedru.

Poliedrul său dual este hexaedrul tetrakis. Dacă octaedrul trunchiat inițial are lungimea laturii 1, dualul său are lungimile laturilor și .

Are indicele de poliedru uniform U08, indicele Coxeter C20 și indicele Wenninger W7.

Construcție, arie și volum Fișier:Truncated Octahedron with Construction.svg Fișier:Square Pyramid.svg Un octaedru trunchiat este construit dintr-un octaedru regulat cu lungimea laturii 3a prin îndepărtarea a șase piramide pătrate drepte, câte una din fiecare vârf. Aceste piramide au atât lungimea laturii de bază (a) cât și lungimea laturii laterale (e) egală cu a, pentru a forma triunghiuri echilaterale. Aria bazei acestora este a2. De observat că această formă este asemenea cu o jumătate de octaedru sau cu poliedrul Johnson J1.

Din proprietățile piramidelor pătrate se obțin apotema s și înălțimea h ale unei piramide îndepărtate:

Volumul V1 al piramidei îndepărtate este

Deoarece șase piramide sunt îndepărtate prin trunchiere, volumul octaedrului trunchiat este mai mic decât al octaedrului inițial cu a3.

Aria A și volumul V ale octaedrului trunchiat cu latura de lungime a sunt:

Proiecții ortogonale Octaedrul trunchiat are cinci proiecții ortogonale speciale, centrate pe un vârf, pe două tipuri de muchii și două tipuri de fețe: hexagon și pătrat. Ultimele două corespund planelor Coxeter B2 și A2. + Proiecții ortogonale Centrată peVârfLatură4-6Latură6-6FațăpătratăFațăhexagonală Poliedru90px90px90px Cadrude sârmă90px90px90px90px90px Dual90px90px90px90px90pxSimetrieproiectivă

Pavare sferică 151px151pxcentrată pe pătrat148px centrată pe hexagonProiecție ortogonalăProiecții stereografice Octaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Coordonate 150px150px150pxProiecție ortogonalăîn cadrul (±2, ±2, ±2) Octaedru trunchiat cu hexagoanele divizate în 6 triunghiuri coplanare. Există 8 noduri noi la (±1, ±1, ±1).Octaedru trunchiat subdivizat topologic în triacontaedru rombic Toate permutările lui (0, ±1, ±2) sunt coordonatele carteziene ale vârfurilor unui octaedru trunchiat cu lungimea laturii centrat în origine. Vârfurile sunt astfel și colțurile a 12 dreptunghiuri ale căror laturi lungi sunt paralele cu axele de coordonate.

Vectorii laturilor au coordonatele carteziene și permutări ale acestora. Normalele fețelor (produsele vectoriale normalizate ale laturilor care au un vârf comun) ale celor 6 fețe pătrate sunt , și . Normalele celor 8 fețe hexagonale sunt . Produsul scalar al normalelor unei perechi de fețe este cosinusul unghiului diedru dintre fețele adiacente, fie −, fie −. Unghiul diedru este aproximativ 1,910633 radiani (109,471°) între fețele hexagonale și 2,186276 radiani (125,263°) între o față hexagonală și una pătrată.

Divizare Gen 2Gen 3D3d, [2+,6], (2*3), ordin 12Td, [3,3], (*332), ordin 24150px150px Octaedrul trunchiat poate fi divizat într-un octaedru central, înconjurat de 8 cupole triunghiulare pe fiecare față și 6 piramide pătrate deasupra vârfurilor.

Înlăturând octaedrul central și 2 sau 4 cupole triunghiulare creează doi toroizi Stewart, cu simetrie diedrală și tetraedrică:

Permutoedru thumb Octaedrul trunchiat poate fi reprezentat și prin coordonate și mai simetrice în patru dimensiuni: toate permutările lui (1, 2, 3, 4) formează vârfurile unui octaedru trunchiat în subspațiul tridimensional . Prin urmare, octaedrul trunchiat este permutoedrul de ordinul 4: fiecare vârf corespunde unei permutări a lui (1, 2, 3, 4) și fiecare latură reprezintă o singură interschimbare a două elemente dintr-o pereche.

Colorare ca poliedru uniform Există două colorări uniforme, cu simetrie tetraedrică și simetrie octaedrică, și două colorări uniforme cu simetrie diedrală ca antiprismă triunghiulară trunchiată. Notația Conway a poliedrelor este dată în paranteze. uniformă 1uniformă 2Oh, [4,3], (*432)ordin 48Td, [3,3], (*332)ordin 24D4h, [4,2], (*422)ordin 16D3d, [2+,6], (2*3)ordin 12140pxcolorare 122140px colorare 123140pxcolorare 122 și 322140pxcolorare 122 și 123Octaedru trunchiat(tO)Tetraedru teșit(bT)Bipiramidă pătrată trunchiată(tdP4)Antiprismă triunghiulară trunchiată(tA3)

Poliedre înrudite Octaedrul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

De asemenea, există și ca omnitrunchiat în familia tetraedrelor:

Variante de simetrie Acest poliedru face parte dintr-o secvență de modele uniforme cu configurația vârfului (4.6.2p) și diagrama Coxeter–Dynkin . Pentru p < 6, membrii secvenței sunt poliedre omnitrunchiate (zonoedre), prezentate mai jos ca pavări sferice. Pentru p > 6, acestea sunt pavări ale planului hiperbolic, începând cu pavare triheptagonală trunchiată.

Octaedrul trunchiat este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări uniforme cu figurile vârfului n.6.6, extinzându-se în planul hiperbolic:

Octaedrul trunchiat este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări uniforme cu figurile vârfurilor 4,2n.2n, extinzându-se în planul hiperbolic:

Politopuri înrudite Octaedrul trunchiat (cubul bitrunchiat), este primul dintr-o succesiune de hipercuburi trunchiate:

Este posibil să se secționeze un tesseract cu un hiperplan, astfel încât secțiunea transversală a acestuia să fie un octaedru trunchiat.

Teselări Octaedrul trunchiat există în trei faguri uniformi convecși: Cubic bitrunchiatCubic cantitrunchiatCubic alternat trunchiat150px150px150px

Fagurele cubic bitrunchiat tranzitiv pe celule poate fi considerat o a rețelei cubice centrate intern. Octaedrul trunchiat este unul dintre cele cinci paraleloedre.

Note

Bibliografie Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., . (Section 3-9)

Vezi și Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view

Cheie: toe

Categorie:Poliedre arhimedice Categorie:Pavări trunchiate Categorie:Zonoedre Categorie:Poliedre care umplu spațiul