thumb|Dual: Triacontaedru rombic În geometrie icosidodecaedrul este un poliedru arhimedic. Are 32 de fețe regulate (20 triunghiulare și 12 pentagonale), 24 de laturi (muchii) identice, care fiecare sunt la limita dintre un triunghi și un pentagon. Are 30 de vârfuri, în fiecare întâlnindu-se două triunghiuri și două pentagoane, care alternează. Ca atare, este un poliedru cvasiregulat
Dualul său este triacontaedrul rombic.
Are indicele de poliedru uniform U24, indicele Coxeter C28 și indicele Wenninger W12.
Proiectat într-o sferă, laturile unui icosidodecaedru definesc 6 cercuri mari. Buckminster Fuller a folosit aceste 6 cercuri mari, împreună cu alte 15 și alte 10 din alte două poliedre pentru a-și defini cele 31 de cercuri mari ale icosaedrului sferic.
Geometrie Un icosidodecaedru are simetrie icosaedrică, iar prima sa stelare este compusul de dodecaedru și icosaedrul său dual, cu vârfurile icosidodecaedrului situate la mijlocul laturilor fiecăruia.
Dualul său este triacontaedrul rombic. Un icosidodecaedru poate fi împărțit de-a lungul oricăruia dintre cele șase plane ecuatoriale pentru a forma o pereche de rotonde pentagonale, care sunt poliedre Johnson.
Icosidodecaedrul poate fi considerat o girobirotondă pentagonală, ca o combinație a două rotonde pentagonale (a se compara cu ortobirotonda pentagonală, altul dintre poliedrele Johnson). În această formă simetria sa este D5d, [10,2+], (2*5), ordin 20.
Figura cadru de sârmă a icosidodecaedrului constă din șase decagoane regulate, care se întâlnesc câte două în fiecare dintre cele 30 de vârfuri.
Icosidodecaedrul are 6 decagoane centrale. Proiectate pe o sferă, ele definesc 6 cercuri mari. Buckminster Fuller a folosit aceste 6 cercuri mari, împreună cu alte 10 și alte 15 din alte două poliedre pentru a-și defini cele 31 de cercuri mari ale icosaedrului sferic.
Coordonate carteziene Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui icosidodecaedru centrat în origine cu lungimea laturii 1 sunt date de permutările pare ale: (0, 0, ±φ) (±, ±, ±) unde φ este secțiunea de aur, .
Raza lungă (de la centru la vârf) a icosidodecaedrului este în raportul de aur cu lungimea laturii sale; astfel, raza sa este φ dacă lungimea laturii este 1, iar lungimea laturii este dacă raza este 1. Doar câteva politopuri uniforme au această proprietate, cum ar fi 600-celule cvadridimensional, icosidodecaedrul tridimensional și decagonul bidimensional. (Icosidodecaedrul este secțiunea transversală ecuatorială a unui 600-celule, iar decagonul este secțiunea transversală ecuatorială a unui icosidodecaedru.) Aceste politopuri „de aur radiale” pot fi construite, cu razele lor, din triunghiuri de aur care se întâlnesc în centru, fiecare contribuind cu două raze și o latură.
Arie și volum Aria A și volumul V ale unui icosidodecaedru cu lungimea laturii a sunt:
Proiecții ortogonale Icosidodecaedrul are patru proiecții ortogonale, centrate pe un vârf, pe o latură și pe două tipuri de fețe: triunghiulare și pentagonale. Ultimele două corespund cu planele Coxeter A2 și H2. + Proiecții ortogonaleCentrată peVârfLaturăFațatriunghiFațapentagonImagine120px120px120pxCadru de sârmă120px120px120px120pxSimetrieproiectivăDual120px120px120px120px
Pavări sferice
Icosidodecaedrul poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc. 160px 160pxCentrată pe pentagon160pxCentrată pe triunghiProiecție ortogonalăProiecții stereografice
Proiecții sferice ortogonale 160px 160px 160px pe axe de simetrie cu 2, 3 și 5 poziții Divizare 200px(Divizare)100pxIcosidodecaedru(girobirotondă pentagonală)100pxOrtobirotondă pentagonală100pxRotondă pentagonală Icosidodecaedrul este asemănător cu poliedrul Johnson ortobirotondă pentagonală creat de două rotonde pentagonale conectate ca imagini în oglindă. Prin urmare, icosidodecaedrul poate fi numit girobirotondă pentagonală cu girația între jumătățile superioară și inferioară.
Icosidodecaedrul este un dodecaedru rectificat și, de asemenea, un icosaedru rectificat, fiind o trunchiere completă a laturilor între aceste poliedre regulate. Icosidodecaedrul conține 12 pentagoane care provin de la dodecaedru și 20 de triunghiuri de la icosaedru:
Icosidodecaedrul există într-o succesiune de simetrii de poliedre și pavări cvasiregulate cu configurații ale vârfului (3.n)2, de la pavări sferice la planul euclidian și planul hiperbolic. Cu notația orbifold a simetriei *n32 toate aceste pavări sunt construcții Wythoff într-un domeniu fundamental de simetrie, cu puncte generatoare în unghiul drept al domeniului. Coxeter Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction, pp.86–88) Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson
thumb|Icosidodecaedru în cub trunchiat Un cub trunchiat poate fi transformat într-un icosidodecaedru prin divizarea octogoanelor în două pentagoane și două triunghiuri. Are simetrie piritoedrică.
Opt poliedre stelate uniforme au același aranjament al vârfurilor. Dintre acestea, două au același aranjament al laturilor: micul icosihemidodecaedru (care are fețele triunghiulare în comun) și micul dodecahemidodecaedru (care are fețele pentagonale în comun). Aranjamentul vârfurilor este, de asemenea, la fel cu al compușilor de cinci octaedre și de cinci tetrahemihexaedre. 100pxIcosidodecaedru100pxMicul icosihemidodecaedru100pxMicul dodecahemidodecaedru100pxMarele icosidodecaedru100pxMarele dodecahemidodecaedru100pxMarele icosihemidodecaedru100pxDodecadodecaedru100pxMicul dodecahemicosaedru100pxMarele dodecahemicosaedru100pxCompus de cinci octaedre100pxCompus de cinci tetrahemihexaedre
Politopuri înrudite În geometria cvadridimensională icosidodecaedrul apare ca secțiune ecuatorială prin 600-celule, vizibilă în primul moment al trecerii acestui politop prin spațiul tridimensional. Cu alte cuvinte, cele 30 de vârfuri ale acelui 600-celule care se află la distanțe de arc de 90° pe hipersfera circumscrisă printr-o pereche de vârfuri opuse sunt vârfurile unui icosidodecaedru. Figura cadru de sârmă a 600-celule este formată din 72 de decagoane regulate plane. Șase dintre acestea sunt decagoane ecuatoriale printr-o pereche de vârfuri opuse. Ele sunt tocmai cele șase decagoane care formează figura cadru de sârmă a icosidodecaedrului.
Note
Bibliografie Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., . (Section 3-9)
Vezi și Lista poliedrelor uniforme
Legături externe
Editable printable net of an icosidodecahedron with interactive 3D view The Uniform Polyhedra Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
Cheie: id
Categorie:Poliedre arhimedice Categorie:Poliedre cvasiregulate Categorie:Pavări trunchiate