În geometrie rombicosidodecaedrul este un poliedru arhimedic. Are 62 de fețe regulate (20 triunghiulare și 30 pătrate și 12 pentagonale), 120 de laturi (muchii) identice și 60 de vârfuri identice, ca urmare este tranzitiv pe vârfuri și pe laturi. Are simetrie icosaedrică, ca și icosaedrul și dodecaedrul.

Dualul său este hexacontaedrul romboidal.

Are indicele de poliedru uniform U27, indicele Coxeter C30 și indicele Wenninger W14.

Nume

Johannes Kepler în Harmonices Mundi (1618) a numit acest poliedru rombicosidodecaedru, fiind prescurtarea de la romb icosidodecaedric trunchiat, unde romb icosidodecaedric era numele dat de el triacontaedrului rombic. Harmonies Of The World by Johannes Kepler, Translated into English with an introduction and notes by E. J. Aiton, A. M. Duncan, J. V. Field, 1997, , p. 123) Există diferite trunchieri ale unui triacontaedru rombic într-un rombicosidodecaedru topologic: în mod evident rectificarea (la stânga între cele trei imagini de mai sus), cea care creează un poliedru uniform (în centru) și rectificarea dualului icosidodecaedrului (la dreapta), care este nucleul compusului dual.

Poate fi numit și un dodecaedru sau icosaedru expandat sau cantelat, din operațiunile de trunchiere pe oricare poliedru uniform.

thumb|Dual: Hexacontaedru romboidal Coordonate carteziene Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui rombicosidodecaedru centrat în origine, cu lungimea laturii de 2, sunt toate permutările pare ale:

unde este secțiunea de aur. Prin urmare, raza sferei circumscrise acestui rombicosidodecaedru (sfera care trece prin toate vârfurile sale) este distanța comună a acestor puncte față de origine, și anume pentru lungimea laturii egală cu 2. Pentru lungimea laturii 1, această valoare trebuie înjumătățită, adică

Arie și volum Aria A și volumul V ale unui rombicosidodecaedru cu lungimea laturii a sunt:

Relații geometrice Dacă se expandează un icosaedru depărtând fețele lor de origine la o distanță potrivită, fără a modifica orientarea sau dimensiunea fețelor și se face același lucru cu dual său, dodecaedrul, iar apoi se „peticesc” găurile pătrate rezultate, se obține un rombicosidodecaedru. Prin urmare, are același număr de triunghiuri ca un icosaedru și același număr de pentagoane ca un dodecaedru, cu câte un pătrat pentru fiecare latură a fiecăruia.

Alternativ, dacă se expandează cinci cuburi depărtând fețele lor de origine la o distanță potrivită și se rotesc astfel încât să fie la 72° și echidistante, iar apoi se peticesc găurile pentagonale și triunghiulare rezultate, se obține un rombicosidodecaedru. Prin urmare, are același număr de pătrate ca și cinci cuburi.

Rombicosidodecaedrul are același aranjament al vârfurilor cu micul dodecaedru trunchiat stelat și cu compușii uniformi de șase sau douăsprezece prisme pentagramice.

Douăsprezece dintre cele 92 de poliedre Johnson sunt derivate din rombicosidodecaedru, patru dintre ele prin rotirea uneia sau mai multor cupole pentagonale: girat (J72), parabigirat (J73), metabigirat (J74) și trigirat (J75). Alte opt pot fi construite prin îndepărtarea a până la trei cupole, uneori rotind una sau mai multe dintre celelalte cupole (J76–J83) (v. mai jos).

Proiecții ortogonale Rombicosidodecaedrul are șase proiecții ortogonale particulare, centrate pe un vârf, pe două tipuri de laturi și pe trei tipuri de fețe: triunghi, pătrat și pentagon. Ultimele două corespund cu planele Coxeter A2 și H2. + Proiecții ortogonaleCentrată peVârfLatura 3-4Latura 5-4FațapătratFațatriunghiFațapentagonImagine100px100px100pxCadru de sârmă100px100px100px100px100px100pxSimetrieproiectivăImaginedual100px100px100px100px100px100px

Pavare sferică Rombicosidodecaedrul poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc. 160px155pxcentrată pe pentagon165pxcentrată pe triunghi160px centrată pe pătratProiecție ortogonalăProiecții stereografice

Poliedre înrudite thumb|Expandarea fie a unui dodecaedru, fie a unui icosaedru creează un rombicosidodecaedru

Variante de simetrie Acest poliedru este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre cantelate cu figurile vârfului (3.4.n.4) și continuă ca pavări ale planului hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe vârfuri au simetrie de reflexie *n32 în notația orbifold.

Poliedre Johnson Există 12 poliedre Johnson înrudite, 5 prin diminuare și 8 care conțin și rotații (girări): + Diminuate J5100px J76100px J80100px J81100px J83100px + Girate și/sau diminuate J72100px J73100px J74100px J75100px J77100px J78100px J79100px J82100px

Aranjamentul vârfurilor Rombicosidodecaedrul are în comun aranjamentul vârfurilor cu trei poliedre uniforme neconvexe: micul dodecaedru trunchiat stelat, micul dodecicosidodecaedru (având în comun fețele triunghiulare și pentagonale) și micul rombidodecaedru (având în comun fețele pătrate).

De asemenea, are în comun aranjamentul vârfurilor cu compușii poliedrici de șase sau douăsprezece prisme pentagramice. 100pxRombicosidodecaedru100pxMicul dodecicosidodecaedru100pxMicul rombidodecaedru100pxMicul dodecaedru trunchiat stelat100pxCompus de șase prisme pentagramice100pxCompus de douăsprezece prisme pentagramice

Note

Bibliografie (Section 3-9)

Vezi și Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

Editable printable net of a Rhombicosidodecahedron with interactive 3D view The Uniform Polyhedra Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra

Cheie: srid

Categorie:Poliedre arhimedice