În geometrie un hexacontaedru pentagonal este un poliedru Catalan cu 60 de fețe. Are 92 de vârfuri, fiind poliedrul Catalan cu cel mai mare număr de vârfuri. Este al doilea ca mărime dintre poliedrele Catalan, după icosidodecaedrul trunchiat, care are 120 de vârfuri.
Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul icosaedrului pentagonal este dodecaedrul snub. Este tranzitiv pe fețe.
Are două forme chirale („enantiomorfe”).
Construcție Hexacontaedrul pentagonal poate fi construit dintr-un dodecaedru snub. Pe cele 12 fețe pentagonale ale dodecaedrului snub se adaugă piramide pentagonale, iar pe cele 20 de fețe triunghiulare care nu au o muchie comună cu un pentagon se adaugă piramide triunghiulare. Înălțimile piramidelor sunt alese astfel încât să fie coplanare cu celelalte 60 de fețe triunghiulare ale dodecaedrului snub. Rezultatul este hexacontaedrul pentagonal.
Geometrie Fețele sunt pentagoane neregulate cu două laturi lungi și trei scurte. Fie rădăcina reală a polinomului , unde este secțiunea de aur. Atunci raportul dintre lungimile laturilor este .
Fețele au patru unghiuri obtuze egale și un unghi ascuțit (între cele două laturi lungi). Unghiurile obtuze au , iar cel asuțit . Unghiul diedru are .
De observat că centrele fețelor dodecaedrului snub nu pot servi direct ca vârfuri ale hexacontaedrului pentagonal: cele patru centre ale triunghiurilor se află într-un singur plan, dar centrul pentagonului nu; trebuie să fie deplasat radial în afară pentru a-l face coplanar cu centrele triunghiului. În consecință, vârfurile hexacontaedrului pentagonal nu se află toate pe aceeași sferă, deci, prin definiție, nu este un zonoedru.
Pentru volumul și aria unui hexacontaedru pentagonal se notează latura mai scurtă a uneia dintre fețele pentagonale cu , iar constanta este
Aria va fi
iar volumul
Cu acestea se poate calcula sfericitatea hexacontaedrului pentagonal
Variații Variații izoedrice cu fețe pentagonale având 3 lungimi de muchii.
Variația prezentată poate fi construită prin adăugarea de piramide pe 12 fețe pentagonale și pe 20 de fețe triunghiulare ale unui dodecaedru snub astfel încât noile fețe sunt formate din câte 3 triunghiuri coplanare fuzionate în fețe pentagonale identice. 160pxDodecaedru snub augmentat cu piramide și cu fețele compuse coplanare160pxVariația din exemplu160pxDesfășurată
Proiecții ortogonale Hexacontaedrul pentagonal are trei proiecții ortogonale particulare, două centrate pe vârfuri și una centrată pe mijlocul laturilor. + Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmăSimetrieproiectivă+Imagini120px120px120pxImaginiduale120px120px120px
Poliedre și pavări înrudite thumb|Hexacontaedru pentagonal sferic
Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile feței (V3.3.3.3.n). Aceste figuri există în planul hiperbolic pentru orice n. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru orice n.
Note
Bibliografie (Section 3-9) (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron) John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal hexecontahedron)
Legături externe
Pentagonal Hexecontrahedron – Interactive Polyhedron Model
Categorie:Poliedre Catalan Categorie:Poliedre chirale