thumb|Un poligon și doi vectori normali pe el thumb|Normala la o suprafață într-un punct este aceeași cu normala la planul tangent la suprafață în același punct
În geometrie o normală este un obiect, cum ar fi o dreaptă, o rază sau un vector, care este perpendicular pe un obiect dat. De exemplu, dreapta normală la o curbă plană într-un punct dat este dreapta (infinită) perpendiculară pe tangenta la curbă în acest punct.Un vector normal poate avea lungimea 1 (un versor) sau lungimea sa poate reprezenta curbura obiectului (un vector de curbură); semnul algebric al acestuia poate indica pe care parte (interior sau exterior) este.
În spațiul tridimensional o normală la suprafață sau, simplu, normală la o suprafață în punctul este un vector perpendicular pe planul tangent la suprafață în . Cuvântul „normal” este folosit și ca adjectiv: o dreaptă normală la un plan, componenta normală a unei forțe, vectorul normal etc. Noțiunea de normalitate se generalizează la ortogonalitate (unghiuri drepte).
Noțiunea a fost generalizată la de dimensiune arbitrară încorporate într-un spațiu euclidian. Spațiul vectorial normal sau spațiul normal al unei varietăți în punctul este mulțimea de vectori care sunt ortogonali cu în . Vectorii normali prezintă un interes deosebit în cazul curbelor și suprafețelor netede.
Distanța normală a unui punct la o curbă sau la o suprafață este distanța euclidiană dintre și proiecția sa perpendiculară pe obiect (în punctul de pe obiect a cărui normală conține ).
Normala la suprafețe în spațiul tridimensional thumb|300px|O suprafață curbată cu vectorii normali (săgețile albastre) la suprafață
Calculul normalei la o suprafață Pentru un poligon convex (cum ar fi un triunghi), o normală a suprafeței poate fi calculată ca vectorul produs vectorial al două laturi (neparalele) ale poligonului.
La un plan dat de ecuația vectorul este normal.Paul A. Blaga, Dreapta și planul în spațiu, Universitatea Babeș-Bolyai, 8 aprilie 2020, accesat 2022-06-20Plane în spațiu. Breviar teoretic , Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, accesat 2022-06-20
Pentru un plan a cărui ecuație este dată în formă parametrică:
unde este un punct din plan, iar sunt vectori neparaleli îndreptați de-a lungul planului, o normală la plan este un vector normal pe ambii și care poate fi calculat prin produsul vectorial Paul Popescu, Marcela Popescu, Algebră Liniară și Geometrie Analitică, Universitatea din Craiova, p. 27, accesat 2022-06-20
Dacă o suprafață (nu neapărat plană) în spațiul tridimensional este parametrizată de un sistem de coordonate curbilinii cu și variabile reale, atunci o normală la este prin definiție o normală la un plan tangent, dată de produsul vectorial al derivatelor parțiale
Dacă suprafața este dată sub formă ca un set de puncte care satisfac atunci o normală într-un punct de pe suprafață este dată de gradientul
deoarece gradientul este perpendicular în orice punct al setului .
Pentru suprafața din care este graficul funcției o normală orientată în sus poate fi găsită fie din parametrizarea dând
sau mai simplu din forma sa implicită rezultând
Deoarece o suprafață nu are un plan tangent într-un punct singular (de exemplu, vârful unui con), nu are o normală bine definită în acel punct. În general, la o suprafață care este Lipschitz continuă este posibil să se definească o normală .
Alegerea normalei right|thumb|300px|Câmp de vectori normali la o suprafață Normala unei (hiper)suprafețe este de obicei scalată pentru a avea lungimea unitate, dar nu are o direcție unică, deoarece opusa sa este și ea o normală unitate. Pentru o suprafață care este frontiera unei mulțimi tridimensionale se poate distinge între normala orientată spre interior și normala orientată spre exterior. Pentru o suprafață orientată, normala este de obicei determinată de regula mâinii drepte sau de analoaga sa în dimensiuni superioare.
Hipersuprafețe în spațiul n-dimensional La un hiperplan (n−1)-dimensional dintr-un spațiu n-dimensional dat de reprezentarea sa parametrică
unde un punct pe hiperplan, iar pentru sunt vectori liniar independenți de-a lungul hiperplanului, o normală la hiperplan este orice vector din nucleul matricei unde Adică, orice vector ortogonal cu toți vectorii din plan este prin definiție o normală a suprafeței. Alternativ, dacă hiperplanul este definit ca setul de soluții al unei singure ecuații liniare atunci vectorul este o normală.
Definiția unei normale la o suprafață din spațiul tridimensional poate fi extinsă la hipersuprafețele (−1)-dimensionale din O hipersuprafață poate fi definită local implicit ca mulțimea punctelor care satisfac o ecuație unde este o funcție scalară. Dacă este diferențiabilă continuu, atunci hipersuprafața este o varietate diferențiabilă în vecinătatea punctelor în care gradientul nu este zero. În aceste puncte un vector normal este dat de gradient:
Dreapta normală este un subspațiu unidimensional cu baza
Note
Legături externe
An explanation of normal vectors from Microsoft's MSDN Clear pseudocode for calculating a surface normal from either a triangle or polygon.
Categorie:Suprafețe Categorie:Calcul vectorial