în matematică triunghiul trinomial este o variație a triunghiului lui Pascal. Diferența dintre cele două este că un element din triunghiul trinomial este suma celor trei elemente (în loc de două în triunghiul lui Pascal) de deasupra lui.
Al -lea element din al -lea rând este notat prin .
Rândurile sunt indexate începând de la 0. Elementele din rândul al -lea sunt indexate începând la stânga cu poziția , iar elementul din mijloc are indicele 0. Simetria elementelor unui rând față de elementul din mijloc este exprimată prin relația
Proprietăți Al -lea rând corespunde coeficienților din dezvoltarea trinomului ridicat la a -a putere:
sau, simetric,
de unde denumirea alternativă de coeficienți trinomiali din cauza relației lor cu coeficienții multinomiali:
În plus, diagonalele au proprietăți interesante, cum ar fi relația lor cu numerele triunghiulare.
Suma elementelor celui de al -lea rând este .
Relația de recurență Coeficienții trinomiali pot fi generați folosind următoarea relație de recurență:
pentru , unde pentru și .
Coeficienții trinomiali centrali Elementele din mijloc ale triunghiului trinomial sunt: 1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, … și au fost studiate de Leonhard Euler și sunt cunoscuți drept coeficienții trinomiali centrali.
Al -lea coeficient trinomial central este dat de
Funcția lor generatoare este
Euler a remarcat următorul exemplum memorabile inductionis fallacis (în ): pentru , unde este al n-lea număr Fibonacci. Totuși, pentru mari această relație este incorectă. George Andrews a explicat această această eroare folosind identitatea generală George Andrews, Three Aspects for Partitions. Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B25f (1990) Online copy
Aplicații În șah
Triunghiul corespunde într-un joc de șah numărului de căi diferite prin care regele poate ajunge, folosind un număr minim de mutări, pe un anumit câmp.
În combinatorică Coeficientul din dezvoltarea dă numărul de moduri diferite de a trage cărți din două seturi identice de cărți de joc fiecare. Andreas Stiller: Pärchenmathematik. Trinomiale und Doppelkopf., c't, Issue 10/2005, p. 181ff De exemplu, din două seturi de câte trei cărți A, B, C, diferitele trageri pot fi: Numărul cărților aleseNumărul de opțiuniOpțiuni0113A, B, C26AA, AB, AC, BB, BC, CC37AAB, AAC, ABB, ABC, ACC, BBC, BCC46AABB, AABC, AACC, ABBC, ABCC, BBCC53AABBC, AABCC, ABBCC61AABBCC
De exemplu,
În particular, aceasta oferă formula pentru numărul de mâini diferite în jocul de cărți Doppelkopf.
Alternativ, este posibilă obținerea acestei expresii luând în considerare numărul de moduri de a trage perechi de cărți identice din cele două seturi, care este coeficientul binomial . Cele cărți rămase pot fi apoi trase în moduri, care pot fi scrise în termeni de coeficienți binomiali ca
Exemplul de mai sus corespunde celor trei moduri de tragere a două cărți fără a primi o pereche de cărți identice (AB, AC, BC) și celor trei moduri de tragere a unei perechi de cărți identice (AA, BB, CC).
Note
Lectură suplimentară
Trinomial Categorie:Matematică discretă Categorie:Subiecte factoriale și binomiale