În algebra liniară despre două matrici și se spune că sunt asemenea dacă există o matrice inversabilă astfel încât
Matricile asemenea reprezintă aceeași aplicație liniară în două (posibile) baze diferite, fiind matricea de .Beauregard, Fraleigh, 1973, pp=240–243.Bronson, 1970, pp=176–178.
O transformare se numește transformare de asemănare sau matricei . În , asemănarea este aceeași cu conjugarea, iar matricile similare sunt numite și conjugate; totuși, într-un subgrup dat al grupului liniar general, noțiunea de conjugare poate fi mai restrictivă decât cea de similaritate, deoarece necesită ca să aparțină lui .
Exemplu La definirea unei transformări liniare se poate întâmpla ca o schimbare a bazei să aibă ca rezultat o formă mai simplă a aceleiași transformări. De exemplu, matricea care reprezintă o rotație în când nu este aliniată cu axele de coordonate poate fi greu de calculat. Dacă axa de rotație ar fi aliniată cu axa pozitivă , atunci ar fi simplu:
unde este unghiul de rotație. În noul sistem de coordonate, transformarea s-ar scrie:
unde și sunt vectorii inițiali, respectiv transformați, într-o bază nouă care conține un vector paralel cu axa de rotație. În baza inițială, transformarea s-ar scrie:
unde vectorii , și matricea de transformare necunoscută sunt în baza inițială. Pentru a scrie în termenii matricei mai simple, se folosește matricea de schimbare a bazei care transformă și în și :
Astfel, matricea din baza inițială, , este dată de . Se constată că transformarea din baza inițială este produsul a trei matrici ușor de obținut. De fapt, transformarea de asemănare operează în trei pași: schimbarea la o nouă bază (), efectuarea unei transformări simple () și schimbarea înapoi la vechea bază (−1).
Proprietăți Asemănarea este o relație de echivalență pe spațiul matricilor pătrate.
Deoarece matricile sunt asemenea dacă și numai dacă reprezintă același operator liniar în raport cu (eventual) baze diferite, matricile asemenea au toate proprietățile operatorului lor subiacent comun: Rang și atributele care pot deriva din acesta: Determinant Urmă Valori proprii și multiplicitățile algebrice Multiplicitățile geometrice ale valorilor proprii (dar nu și spațiile proprii, care sunt transformate conform matricei de schimbare a bazei utilizată). Polinom minimal
, până la o permutare a blocurilor Jordan
Divizori elementari, care formează un set complet de invarianți pentru asemănarea matricilor pe un inel principal
Din această cauză, pentru o matrice dată , prezintă interes să fie obținută o „formă normală” simplă care este asemenea cu — apoi studiul lui se reduce la studiul matricei mai simple . De exemplu se numește dacă este asemenea cu o matrice diagonală. Nu toate matricile sunt diagonalizabile, dar cel puțin peste numerele complexe (sau orice corp algebric închis), orice matrice este asemenea cu o matrice în formă Jordan. Niciuna dintre aceste forme nu este unică (elementele de pe diagonală sau blocurile Jordan pot fi permutate), așa că nu sunt cu adevărat ; mai mult, determinarea lor depinde de a putea factoriza polinomul minimal sau caracteristic al lui (echivalent pentru a-i găsi valorile proprii). nu are aceste dezavantaje: există peste orice corp, este cu adevărat unică și poate fi calculată folosind numai operații aritmetice din corp; și sunt asemenea dacă și numai dacă au aceeași formă canonică rațională. Forma canonică rațională este determinată de divizorii elementari ai lui ; aceștia pot fi citiți imediat într-o matrice de forma Jordan, dar pot fi, de asemenea, determinați direct pentru orice matrice prin calculul , peste inelul de polinoame, a matricei (cu elemente polinomiale) (aceeași ale cărei determinant definește polinomul caracteristic). De reținut că această formă normală Smith nu este o formă normală a lui în sine; mai mult decât atât, nu se aseamănă nici cu , dar se obține din aceasta din urmă prin înmulțiri la stânga și la dreapta cu diferite matrici inversabile (cu elemente polinomiale).
Asemănarea matricilor nu depinde de corpul de bază: dacă este un corp care conține pe drept subcorp, iar și sunt două matrici peste , atunci și sunt asemenea cu matricile peste dacă și numai dacă sunt asemenea cu matricile peste . Acest lucru se datorează faptului că forma canonică rațională peste este și forma canonică rațională peste . Aceasta înseamnă că se pot folosi forme Jordan care există doar peste un corp mai mare pentru a determina dacă matricile date sunt asemenea.
În definiția asemănării, dacă matricea poate fi aleasă ca matrice de permutare, atunci și sunt asemenea cu permutarea; poate fi aleasă să fie o matrice unitate, atunci și sunt echivalente unitar. spune că orice este echivalentă unitar cu o matrice diagonală. Teorema lui Specht afirmă că două matrici sunt echivalente unitar dacă și numai dacă îndeplinesc anumite egalități ale urmelor.
Note
Bibliografie
Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. . (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)
Categorie:Matrice