În algebră abstractă un element al unui inel se numește divizor al lui zero la stânga dacă există un diferit de 0 în astfel încât  = 0,Dumitru Bușneag, Fundamentele algebrice ale informaticii (curs), Universitatea din Craiova, p. 37, accesat 2023-08-06 (unde 0 se referă la elementul neutru al primel legi de compoziție al inelului, notată și adunare) sau echivalent dacă aplicația de la la care aplică la nu este injectiv. Similar, un al unui inel se numește divizor al lui zero la dreapta dacă există un diferit de zero în astfel încât . Acesta este un caz parțial de divizibilitate în inele. Un element care este un divizor al lui zero la stânga sau la dreapta este numit, simplu, divizor al lui zero.Răzvan Lițcanu, Geometrie Algebrică (curs), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, p. 2, accesat 2023-08-06 Dacă inelul este comutativ, atunci divizorii lui zero la stânga și la dreapta sunt aceiași.

Un element al unui inel care nu este un divizor al lui zero la stânga se numește regulat la stânga. Similar, un element al unui inel care nu este un divizor al lui zero la dreapta se numește regulat la dreapta. Un element al unui inel care este regulat la stânga și la dreapta și, prin urmare, nu este un divizor de zero, se numește regulat.Cimpoeaș Mircea, Module maximale Cohen-Macaulay (referat doctorat), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, p. 3, accesat 2023-08-06 Un divizor al lui zero care el însuși este diferit de zero se numește divizor al lui zero nenul sau divizor al lui zero netrivial. Un inel nenul fără divizori ai lui zero netriviali se numește domeniu.

Exemple de divizori ai lui zero În , în inelul , clasa de reziduuri este un divizor al lui zero deoarece Singurul divizor al lui zero al inelului de întregi este însuși. Un element nilpotent al unui inel nenul este întotdeauna un divizor al lui zero. Un al unui inel este întotdeauna un divizor al lui zero, deoarece . peste un corp are divizori al lui zero nenuli dacă . Exemple de divizori al lui zero din inelul de matrici (peste orice inel nenul):

Un produs direct al două sau mai multe inele nenule are întotdeauna divizori ai lui zero nenuli. De exemplu, în în fiecare diferit de zero, deci este un divizor al lui zero. Fie un corp și un grup. Se presupune că are un element de ordin finit. Apoi, în există , niciunul dintre factori nefiind zero, deci în este un divizor al lui zero diferit.

Divizori ai lui zero laterali Fie inelul de matrici (formale) cu și . Atunci : și . Dacă , atunci este un divizor al lui zero la stânga dacă și numai dacă este par, deoarece , și este un divizor al lui zero la dreapta dacă și numai dacă este par din același motiv. Dacă oricare dintre este atunci este un divizor al lui zero (pe ambele laturi). Un alt exemplu de inel cu un element care este un divizor al lui zero lateral. Fie mulțimea tuturor șirurilor de numere întregi și ca inel toate aplicațiile aditive de la la , cu adunare punctuală și ca la inele. (Adică, inelul este , un al grupului aditiv .) Trei exemple de elemente ale acestui inel sunt deplasarea la dreapta , deplasarea la stânga și aplicația de proiecție pe primul factor . Toate aceste trei aplicații aditive nu sunt nule, iar compusele și sunt ambele nule, deci este un divizor al lui zero la stânga, iar este un divizor al lui zero la dreapta în inelul de aplicații aditive de la la . Totuși, nu este un divizor al lui zero la dreapta, iar nu este un divizor al lui zero din stânga: compunerea este elementul neutru. este un divizor al lui zero (pe ambele laturi), deoarece , în timp ce nu este pe nicio latură.

Exemple care nu sunt divizori ai lui zero Inelul numerelor întregi modulo un număr prim nu are divizori al lui zero. Deoarece fiecare element diferit de zero este o unitate, acest inel este un corp finit. În general, un inel cu diviziune nu are divizori al lui zero. Un inel comutativ nenul al cărui singur divizor al lui zero este 0 se numește domeniu de integritate.

Proprietăți În inelul de matrici peste un corp, divizorii lui zero la stânga și la dreapta coincid; ele sunt tocmai matricile inverse. În inelul de matrici peste un domeniu de integritate, divizorii lui zero sunt tocmai matricele cu determinant zero. Divizorii ai lui zero la stânga sau la dreapta nu pot fi niciodată unități, deoarece dacă este inversabilă și pentru un diferit de zero, atunci , ceea ce este o contradicție. Un element este simplificabil pe partea în care este regulat. Adică, dacă este regulat la stânga, implică faptul că și, similar, pentru regulat la dreapta.

Zero ca divizor al lui zero Nu este nevoie de o convenție separată pentru cazul , deoarece definiția se aplică și în acest caz: Dacă este alt inel decât inelul nul, atunci este un divizor al lui zero, deoarece orice element diferit de zero satisface . Dacă este inelul nul, în care , atunci nu este un divizor zero, deoarece nu există element nenul care atunci când este înmulțit cu să dea .

Unele lucrări includ sau exclud ca divizor al lui zero în toate inelele, prin convenție, dar apoi se lovesc de faptul că trebuie să introducă excepții în declarații precum următoarele: Într-un inel comutativ , mulțimea divizorilor nenuli este o mulțime multiplicativă din . (Acest lucru, la rândul său, este important pentru definirea inelului cât total.) Același lucru este valabil și pentru mulțimea divizorilor lui zero la stânga și mulțimea divizorilor lui zero la dreapta într-un inel arbitrar, comutativ sau nu. Într-un comutativ , mulțimea divizorilor lui zero este reuniunea idealelor prime asociate ale lui .

Divizor al lui zero într-un modul Fie un inel comutativ, fie un - și fie un element al lui . Se spune că este -regulat dacă aplicația „înmulțire cu ” este injectivă, iar în caz contrar acel este un divizor al lui zero pe . Mulțimea elementelor -regulate este o mulțime multiplicativă în .

Precizarea definițiilor „-regulat” și „divizor zero pe ” în cazul se încadrează în definițiile pentru „regulat” și „divizor al lui zero” date mai sus.

Note

Lectură suplimentară

Categorie:Algebră abstractă Categorie:Teoria inelelor Categorie:0 (număr)