În algebra abstractă o algebră cu diviziuneCristina Flaut, Algebre cu diviziune (conferință), Universitatea „Ovidius” din Constanța, 13 ianuarie 2006, accesat 2023-08-11 este o algebră peste un corp în care împărțirea, cu excepția celei la zero, este întotdeauna posibilă.

Definiții Formal, se începe cu o algebră diferită de zero, , peste un corp. se numește algebră cu diviziune dacă pentru orice element din și orice element din diferit de zero există exact un element în cu și exact un element în astfel încât .

Pentru definiția poate fi simplificată după cum urmează: o algebră asociativă diferită de zero peste un corp este o algebră cu diviziune dacă și numai dacă are un element neutru multiplicativ, 1, iar orice element nenul are un invers multiplicativ (adică un element cu proprietatea ).

Algebre cu diviziune asociative Cele mai cunoscute exemple de algebre de diviziune asociativă sunt cele reale finit-dimensionale (adică algebre peste corpul al numerelor reale, care sunt finit-dimensionale) ca spații vectoriale peste numerele reale). afirmă că până la izomorfism există trei astfel de algebre: numerele reale în sine (cu dimensiunea 1), corpul numerelor complexe (cu dimensiunea 2) și cuaternionii (cu dimensiunea 4).

Mica teoremă a lui Wedderburn afirmă că dacă este o algebră cu diviziune finită, atunci este un corp finit. Lam (2001), [ p. 203]

Peste un corp algebric închis (de exemplu corpul numerelor complexe ), nu există algebre cu diviziune asociativă cu finit-dimensionale, cu excepția în sine. Cohn (2003), [ Proposition 5.4.5, p. 150]

Algebrele cu diviziune asociativă nu au divizori al lui zero diferiți de zero. O algebră cu unitate asociativă finit-dimensională (peste orice corp) este o algebră cu diviziune dacă și numai dacă nu are divizori ai lui zero nenuli.

Ori de câte ori este o algebră cu unitate asociativă peste un corp iar este un peste , atunci al lui este o algebră cu diviziune peste ; orice algebră cu diviziune asociativă peste apare în acest mod.

Centrul unei algebre cu diviziune asociativă peste corpul este un corp care îl conține pe . Dimensiunea unei astfel de algebre peste centrul său, dacă este finită, este un pătrat perfect: este egală cu pătratul dimensiunii unui subcorp maxim al lui peste centru. Fiind dat un corp , clasele de algebre cu diviziune asociative simple (care conțin doar ideale triviale) al căror centru este și care sunt finit-dimensionale peste poat fi transformat într-un grup, al corpului .

O modalitate de a construi algebre cu diviziune asociative finit-dimensionale pe corpuri arbitrare este dată de .

Pentru algebrele cu diviziune asociative finit-dimensionale, cele mai importante cazuri sunt cele în care spațiul are o topologie rezonabilă. A se vedea, de exemplu și .

Algebre cu diviziune nu neapărat asociative Dacă algebra cu diviziune nu se presupune a fi asociativă, de obicei se impune o condiție mai slabă, cum ar fi alternativitatea sau asociativitatea puterii.

Peste numerele reale există (până la izomorfism) doar două algebre cu unitate comutative finit-dimensionale: numerele reale în sine și numerele complexe. Acestea sunt, desigur, ambele asociative. Pentru un exemplu neasociativ, se consideră numerele complexe cu înmulțirea definită luând conjugata complexă a înmulțirii obișnuite:

Aceasta este o algebră cu diviziune comutativă, neasociativă 2-dimensională peste numerele reale și nu are niciun element unitate. Există o infinitate de alte algebre cu diviziune reale neizomorfe comutative, neasociative, finit-dimensionale, dar toate sunt 2-dimensionale.

De fapt, fiecare algebră cu diviziune comutativă reală finit-dimensională este fie 1-, fie 2-dimensională. Aceasta este cunoscută ca teorema lui Hopf și a fost demonstrată în 1940. Demonstrația folosește metode din topologie. Deși ulterior s-a găsit o demonstrație folosind geometria algebrică, nu se cunoaște nicio demonstrație algebrică directă. Teorema fundamentală a algebrei este un corolar al teoremei lui Hopf.

Renunțând la cerința comutativității, Hopf și-a generalizat rezultatul: Orice algebră cu diviziune reală finit-dimensională trebuie să aibă dimensiunea o putere a lui 2.

Lucrările ulterioare au arătat că de fapt orice algebră cu diviziune reală finit-dimensională trebuie să aibă dimensiunea 1, 2, 4 sau 8. Acest lucru a fost demonstrat independent de Michel Kervaire și John Milnor în 1958, folosind din nou tehnici de topologie algebrică, în special teoria K. Adolf Hurwitz a arătat în 1898 că identitatea este valabilă numai pentru dimensiunile 1, 2, 4 și 8. , p.202 Provocarea de a construi o algebră cu diviziune 3-dimensională a fost abordată mau demult de câțiva matematicieni. Kenneth O. May a analizat aceste încercări în 1966. Kenneth O. May (1966) "The Impossiblility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space", American Mathematical Monthly 73(3): 289–91

Orice algebră cu diviziune reală finit-dimensională peste numerele reale trebuie să fie: izomorfă pe <math>\R<\math> sau <math>\C<\math> dacă are unitate și este comutativă (echivalent: asociativă și comutativă); izomorfă pe cuaternioni dacă este necomutativă dar asociativă; izomorfă pe octonioni dacă nu este asociativă, dar este alternativă.

Următoarele sunt cunoscute despre dimensiunea unei algebre cu diviziune finit-dimensională peste un corp : dim = 1 dacă este un corp algebric închis; dim = 1, 2, 4 sau 8 dacă este un și Dacă nu este un corp închis nici algebric, nici real, atunci există un număr infinit de dimensiuni în care există algebre cu diviziune peste .

Note

Bibliografie

Legături externe

Categorie:Structuri algebrice Categorie:Teoria inelelor