În matematică o funcție reală de variabilă reală este concavă pe un interval atunci când graficul său se află deasupra dreptei care unește punctele ce reprezintă valorile funcției la extremitățile intervalului.

Funcțiile concave jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare, în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, și în rezolvarea anumitor ecuații.

Definiție 300px|right O funcție reală de variabilă reală pe un interval (sau, mai general, o mulțime într-un spațiu vectorial) se spune că este concavă dacă pentru orice și din interval și pentru orice ,

Se spune că o funcție este strict concavăMădălina Buneci, Metode de Optimizare Cap.IV.7 Funcții convexe, Universitatea Constantin Brâncuși din Târgu Jiu, p. 1, accesat 2023-09-05 dacă

pentru orice și .

Pentru o funcție , această a doua definiție afirmă doar că pentru fiecare strict între și , punctul de pe graficul lui este deasupra dreptei care unește punctele și .

Proprietăți 1. O funcție derivabilă este (strict) concavă pe un interval dacă și numai dacă derivata sa este (strict) monoton descrescătoare pe acel interval, adică o funcție concavă are o pantă necrescătoare (descrescătoare).

2. Punctele în care concavitatea se modifică între concav și convex sunt puncte de inflexiune.

3. Dacă este derivabilă de două ori, atunci dacă este concavă, este negativă. Dacă funcția este strict concavă, derivata sa de ordinul al doilea este strict negativă. Dar inversa nu este adevărată, așa cum se vede din

4. Dacă este concavă și derivabilă, atunci este mărginită superior de de ordinul întâi:

5. O funcție măsurabilă Lebesgue pe un interval este concavă dacă și numai dacă este concavă la mijloc, adică pentru orice și din

6. Dacă o funcție este concavă și , atunci este pe .

Demonstrație: Deoarece este concavă și , pentru se obține

Pentru :

Exemple Funcțiile și sunt concave pe domeniile lor, ca și derivatele lor secundare și care sunt întotdeauna negative. Funcția logaritm este concavă pe domeniul său , iar derivata este o funcție strict descrescătoare. Orice funcție afină este atât concavă, cât și convexă, dar nici strict concavă, nici strict convexă. Funcția sinus este concavă pe intervalul . Funcția , unde este determinantul unei matrice nenegativ-definită B, este concavă.

Note

Lectură suplimentară

Vezi și Poligon concav

Categorie:Tipuri de funcții Categorie:Analiză funcțională Categorie:Convexitate