În matematică, în special algebra comutativă, se spune că un ideal propriu al unui inel comutativ este primar dacă ori de câte ori este un element din , atunci sau sunt și ele elemente din pentru unele De exemplu, în inelul numerelor întregi Z, () este un ideal primar dacă este un număr prim.
Noțiunea de ideal primar este importantă în teoria inelelor comutative deoarece orice ideal al unui are o , adică poate fi scris ca o intersecție a unui număr finit de ideale primare. Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema Lasker–Noether. În consecință, un ideal ireductibil al unui inel noetherian este primar.
Există diferite metode de generalizare a idealelor primare la inele necomutativev. Chatters–Hajarnavis, Goldman, Gorton–Heatherly și Lesieur–Croisot. dar de obicei subiectul este studiat pentru inelele comutative. Prin urmare, se presupune că inelele din acest articol sunt inele comutative cu unitate.
Exemple și proprietăți Definiția poate fi reformulată într-o manieră mai simetrică: un ideal este primar dacă, ori de câte ori , avem sau sau . (Aici este radicalul lui .) Un ideal al lui este primar dacă și numai dacă orice divizor al lui zero din este nilpotent. (A se compara acest lucru cu cazul idealelor prime, unde este prim dacă și numai dacă orice divizor al lui zero din este de fapt zero.) Orice ideal prim este primar și, în plus, un ideal este prim dacă și numai dacă este primar și semiprim (numit și radicalul idealului în cazul comutativ). Orice ideal primar este un ideal principal.Demonstrația se găsește în lucrarea lui Fuchs. Dacă este un ideal primar, atunci radicalul lui este în mod necesar un ideal prim , iar acest ideal se numește idealul prim asociat al . În această situație, se spune că este -primar. Pe de altă parte, un ideal al cărui radical este prim nu este neapărat primar: de exemplu, dacă , și , atunci este prim și , dar avem , și pentru orice > 0, deci nu este primar. Descompunerea primară a este ; aici este -primar și este -primar. Un ideal al cărui radical este maximal este însă primar. Orice ideal cu radicalul este conținut în cel mai mic ideal - primar: toate elementele astfel încât pentru unele . Dacă este un ideal prim maximal, atunci orice ideal care conține o putere a lui este -primar. Nu toate idealele -primare trebuie să fie puteri ale lui , dar cel puțin ele conțin o putere a lui ; de exemplu, idealul (2) este -primar pentru idealul = () în inelul , dar nu este o putere a lui , totuși îl conține pe 2. Dacă este un inel noetherian și un ideal prim, atunci nucleul lui , aplicația de la la lui la , este intersecția tuturor idealelor primare .Atiyah–Macdonald, Corolarul 10.21 Un produs finit nevid de -ideale primare este -primar, dar un produs infinit de -ideale primare poate să nu fie -primar. Deoarece, de exemplu, într-un inel local noetherian cu idealul maximal , (teorema de intersecție a lui Krull) unde fiecare este -primar, de exemplu produsul infinit al idealului maximal (și, prin urmare, prim, și, prin urmare, primar) al dă idealul nul, care în acest caz nu este primar (deoarece divizorul lui zero nu este nilpotent). De fapt, într-un inel noetherian un produs nevid al idealelor -primare este -primar dacă și numai dacă există un întreg astfel încât Bourbaki, cap. IV, § 2, exercițiul 3
Note
Bibliografie
Fuchs, Ladislas, On primal ideals
Legături externe
Primary ideal la Enciclopedia Matematicii
Categorie:Ideale Categorie:Algebră comutativă