În , o ramură a algebrei abstracte, un inel factorTiberiu Dumitrescu, Algebra 1 (curs, p. 70), Universitatea din București, accesat 2023-10-15Alexandru Dincă, Christina Dan, Algebră III, Craiova, Ed. Universitaria, 2009, , p. 11, cunoscut și sub numele de inel câtSYLLABUS - Algebra 3, Universitatea Babeș-Bolyai, 2009, accesat 2023-10-15Leon Levițchi (coord.), Dicționar Tehnic Englez – Român, București, Editura Tehnică, 1967, p. 1068, este o construcție destul de similară cu grupul factor din teoria grupurilor și cu spațiul factor din algebra liniară. Începând cu un inel și un ideal bilateral în , se construiește un nou inel, inelul factor , ale cărui elemente sunt ale lui din supuse operațiilor și . (La notarea inelului factor se folosește doar bara oblică, „ / ”, nu și bara orizontală de fracție.)
Inelele factor sunt distincte de așa-numitul „corp factor”, sau corpul fracțiilor al unui domeniu de integritate, precum și de „inelele de coeficienți”, mai generale, obținute prin .
Construcția formală a unui inel factor Fiind dat un inel și un ideal bilateral în , se poate defini o relație de echivalență pe , după cum urmează: dacă și numai dacă este în . Folosind proprietățile idealului, nu este dificilă verificarea că este o . În cazul , se spune că și sunt congruente modulo . a elementului din este dată de .
Uneori clasa de echivalență este notată și este numită „clasa de resturi a lui modulo ”.
Mulțimea tuturor acestor clase de echivalență este notată cu ; devine un inel, inelul factor al modulo , dacă se definește: ; . (Aici trebuie verificat dacă aceste definiții sunt bine definite. De comparat clasa de resturi cu grupul factor.)
Elementul zero al este , iar elementul neutru este .
Aplicația de la pe definită prin este un surjectiv, numit uneori homomorfism canonic.
Exemple Inelul factor este cu , iar este inelul nul {0}, deoarece, după definiția de față, pentru orice din există acel care este egal cu în sine. Acest lucru corespunde regulii generale conform căreia cu cât idealul este mai mare, cu atât inelul factor este mai mic. Dacă este un ideal adecvat al lui , adică atunci nu este inelul nul.
Fie inelul numerelor întregi Z și idealul numerelor pare, notat cu 2Z. Atunci inelul factor are doar două elemente, mulțimea constând din numerele pare și mulțimea formată din numerele impare. Aplicând definiția, Este în mod natural izomorf cu corpul finit cu două elemente, F2. Intuitiv: dacă se consideră toate numerele pare ca fiind 0, atunci orice număr întreg este fie 0 (dacă este par), fie 1 (dacă este impar, prin urmare, diferă de un număr par cu 1). este în esență aritmetică în inelul factor (care are elemente).
Acum fie în variabila cu coeficienți reali, , și idealul constând din toți multiplii polinomului . Inelul factor este izomorf în mod natural cu corpul numerelor complexe , cu clasa jucând rolul unității imaginare . Motivul este că s-a „forțat” , adică , care este definiția lui . Deoarece orice exponent întreg al lui trebuie să fie fie , fie , înseamnă că toate polinoamele posibile se simplifică în esență la forma . (Pentru clarificare, inelul factor este de fapt izomorf în mod natural cu corpul tuturor polinoamelor liniare unde se efectuează operațiile mod Invers, , iar aceasta face să corespundă cu unitatea imaginară din corpul izomorf al numerelor complexe.)
Generalizând exemplul anterior, inelele factor sunt adesea folosite pentru a construi extinderii de corp. Fie un corp și un în Atunci este un corp al cărui polinom minimal peste este , care conține pe precum și un element .
Un aspect important al exemplului anterior este construcția corpurilor finite. Fie, de exemplu, corpul cu trei elemente. Polinomul este ireductibil peste (deoarece nu are rădăcină) și se poate construi inelul factor . Acesta este un corp cu elemente, notate cu . Celelalte corpuri finite pot fi construite similar.
În geometria algebrică inelele de coordonate ale sunt exemple importante de inele factor. Ca un caz simplu, fie varietatea reală o submulțime a planului real . Inelul funcțiilor polinomiale cu valori reale definite pe poate fi identificat cu inelul factor , iar acesta este inelul de coordonate al lui . Varietatea poate fi acum studiată studiind inelul său de coordonate.
Proprietăți Este evident că dacă este un inel comutativ, atunci și este; reciproca însă nu este adevărată în general.
Aplicația factorială naturală îl are pe drept . Întrucât nucleul fiecărui homomorfism de inele este un ideal bilateral, se poate afirma că idealele bilaterale sunt tocmai nucleele homomorfismelor de inele.
Relația intimă dintre homomorfismele de inele, nuclee și inele factor poate fi rezumată după cum urmează: homomorfismele de inele definite pe sunt în esență aceleași cu homomorfismele de inele definite pe care dispar (adică sunt nule) pe . Mai exact, fie un ideal bilateral din și un homomorfism de inele al cărui nucleu îl conține pe , există exact un homomorfism de inele cu (unde este aplicația factorială naturală). Aici aplicația este dată de regula bine definită pentru orice din . Într-adevăr, această poate fi folosită pentru a defini inelele factor aplicațiile lor factoriale naturale.
Ca o consecință a celor de mai sus, se obține afirmația fundamentală: fiecare homomorfism de inele induce un izomorfism de inele între inelul factor și imaginea .
Idealele lui și sunt strâns legate: aplicația factorială naturală oferă o bijecție între idealele bilaterale ale care conțin pe și idealele bilaterale ale lui (același lucru este valabil și pentru idealele stângi și drepte). Această relație între idealul bilateral se extinde la o relație între inelele factor corespunzătoare: dacă este un ideal bilateral din care îl conține pe și se scrie pentru idealul corespunzător din (adică ), inelele factor și sunt izomorfe în mod natural prin aplicația (bine definită!) .
Următoarele aspecte se dovedesc utile în algebra comutativă și geometria algebrică: pentru comutativ, este un corp dacă și numai dacă este un ideal maximal, în timp ce este un domeniu de integritate dacă și numai dacă I este un ideal prim. O serie de afirmații asemănătoare stabilesc relații între proprietățile idealului și proprietățile inelului factor .
Teorema chinezească a resturilor afirmă că, dacă idealul este intersecția (sau, echivalent, produsul) idealelor coprime în perechi , atunci inelul factor este izomorf cu produsul inelelor factor , .
Note
Bibliografie F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33. Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
Bartel Leendert van der Waerden (1970) Algebra, translated by Fred Blum and John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York. See Chapter 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pages 47 to 51.
Legături externe
Ideals and factor rings from John Beachy's Abstract Algebra Online
Categorie:Teoria inelelor