În matematică dreptele unui tridimensional, , pot fi privite ca puncte ale unui spațiu proiectiv 5-dimensional, . În acel 5-spațiu, punctele care reprezintă fiecare dreaptă din se află pe o cuadrică cunoscută sub numele de cuartica Klein.
Dacă spațiul vectorial subiacent al lui este spațiul vectorial cvadridimensional , atunci are ca spațiu vectorial subiacent spațiul vectorial cu 6 dimensiuni pătrat exterior din . obținute în acest fel sunt cunoscute drept .
Aceste coordonate Plücker satisfac ecuația pătratică
care definește pe , unde
sunt coordonatele dreptei generate de doi vectori și .
Spațiul tridimensional poate fi reconstruit din cuadrica : planele conținute în se încadrează în două , unde planele din aceeași clasă se întâlnesc într-un punct, iar planele din clase diferite se întâlnesc într-o dreaptă sau în mulțimea vidă. Fie aceste clase și . Geometria lui este preluată după cum urmează:
Punctele din sunt planele din . Dreptele din sunt punctele din . Planele din sunt planele din '.
Faptul că geometriile lui și sunt izomorfe poate fi explicat prin izomorfismul 3 și 3.
Bibliografie Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry : from foundations to applications, page 169, Cambridge University Press Arthur Cayley (1873) "On the superlines of a quadric surface in five-dimensional space", Collected Mathematical Papers 9: 79–83. Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198 Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry, volume 1, Interpretation of line coordinates as point coordinates in S5, page 331, Ginn and Company. .
Categorie:Geometrie proiectivă Categorie:Cuadrice