În matematică, un gol Hausdorff () constă, în mod aproximativ, din două colecții de secvențe de numere întregi, astfel încât să nu existe nicio secvență situată „între” cele două colecții. Primul exemplu a fost găsit de . Existența golurilor Hausdorff arată că ansamblul parțial ordonat al ratelor de creștere ale secvențelor nu este complet.
Definiție Fie mulțimea tuturor secvențelor de numere întregi pozitive și definim prin .
Dacă este o și și sunt cardinale, atunci un pregol de tip în este dat de două familii de elemente și astfel încât: familia este strict crescătoare; familia este strict descrescătoare; pentru orice și avem .
Un pregol se numește gol dacă, în plus: nu există un element care să satisfacă simultan pentru toate și .
Un gol Hausdorff este un gol de tip în cu proprietatea că pentru fiecare ordinal numărabil și orice există doar un număr finit de astfel încât, pentru toate , avem .
Există variații ale acestor definiții, în care mulțimea ordonată este înlocuită cu o structură similară. De exemplu, se poate defini prin condiția că pentru toți , cu excepția unui număr finit de valori. O altă variantă, introdusă de , înlocuiește cu mulțimea tuturor submulțimilor lui , ordonată prin relația dacă este finit, iar este infinit.
Existență Se poate demonstra în cadrul ZFC că există goluri Hausdorff, precum și goluri de tip , unde este cardinalitatea celei mai mici mulțimi nemărginite din , și că nu există goluri de tip . poate exclude toate tipurile de goluri, cu excepția golurilor Hausdorff și a celor de tip cu .
Bibliografie
Legături externe
Categorie:Șiruri de numere întregi Categorie:Teoria ordinii