În fizică și matematică ecuația difuzieiGheorghe Aniculăesei, Ecuații parabolice și hiperbolice (curs), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, p. 28, accesat 2025-05-21 este o ecuație cu derivate parțiale parabolică. În fizică, descrie comportamentul macroscopic al multor microparticule în mișcare browniană, rezultat din mișcările și coliziunile aleatorii ale particulelor (vezi legile lui Fick). În matematică, este legată de procesele Markov – cum ar fi – și este aplicată în multe alte domenii, cum ar fi știința materialelor, teoria informației și biofizica. Ecuația difuziei este un caz particular al atunci când vitezele macroscopice relative din volum sunt nule. În anumite circumstanțe este echivalentă cu ecuația propagării căldurii.
Istoric Ecuația difuziei particulelor unei specii chimice a fost obținută inițial de Adolf Fick în 1855.
Enunț De obicei ecuația se scrie:
unde este densitatea materialului care difuzează în poziția și momentul este coeficientul de difuzie colectivă a densității în poziția iar este operatorul diferențial vectorial nabla. Dacă coeficientul de difuzie depinde de densitate, atunci ecuația este neliniară, altfel este liniară.
Ecuația de mai sus se aplică atunci când coeficientul de difuzie este izotrop. În cazul difuziei anizotrope, este o matrice simetrică pozitiv definită, iar ecuația se scrie (pentru difuzie tridimensională) ca:
Ecuația difuziei are numeroase soluții analitice.
Dacă este constant, atunci ecuația se reduce la următoarea :
care este identică cu ecuația propagării căldurii.
Obținere Ecuația difuziei poate fi obținută trivial din ecuația de continuitate, care afirmă că o modificare a densității în orice parte a sistemului se datorează intrării și ieșirii de materie în și din acea parte a sistemului. Practic, nu se creează sau se distruge materia:
unde j este fluxul de materie. Ecuația difuziei poate fi obținută cu ușurință din aceasta, atunci când este combinată fenomenologic cu prima lege a lui Fick, care afirmă că fluxul de materie care difuzează în orice parte a sistemului este proporțional cu gradientul local al densității:
Discretizare Ecuația difuziei este continuă atât în spațiu, cât și în timp. Se poate discretiza spațiul, timpul sau ambele, care apar în aplicație. Discretizarea timpului corespunde doar cazului unor momente de timp ale sistemului continuu în care nu apar fenomene noi. Prin discretizarea spațiului, devine discret în loc de nucleul gaussian continuu. Prin discretizarea atât a timpului, cât și a spațiului, se obține mersul aleatoriu.
Discretizarea în prelucrarea imaginilor Pentru a rescrie ecuația tensorială de difuzie anizotropă, în schemele standard de discretizare se folosește regula derivării unui produs, deoarece discretizarea directă a ecuației difuziei doar cu diferențe centrale spațiale de ordinul întâi duce la artefacte de tip tablă de șah. Ecuația difuziei rescrisă utilizată în filtrarea imaginilor:
unde cu este notată urma tensorului de ordinul doi, iar cu „exponentul” este notată transpusa, în care, în filtrarea imaginilor, D(ϕ, r) sunt matrici simetrice construite din vectorii proprii ai ai imaginii. Derivatele spațiale pot fi apoi aproximate prin două diferențe finite centrale de ordinul întâi și una de ordinul al doilea. Algoritmul de difuzie rezultat poate fi scris ca o convoluție a imaginii cu un nucleu (șablon) variabil de dimensiunea 3 × 3 în 2D și 3 × 3 × 3 în 3D.
Note
Lectură suplimentară
Carslaw, H. S. and Jaeger, J. C. (1959). Conduction of Heat in Solids Oxford: Clarendon Press Jacobs, M.H. (1935). Diffusion Processes Berlin/Heidelberg: Springer Crank, J. (1956). The Mathematics of Diffusion Oxford: Clarendon Press Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, Thambynayagam, R. K. M (2011). The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. McGraw-Hill Ghez, R. (1988). A Primer Of Diffusion Problems, Wiley Ghez, R. (2001). Diffusion Phenomena. Long Island, NY, USA: Dover Publication Inc Pekalski, A. (1994). Diffusion Processes: Experiment, Theory, Simulations, Springer Bennett, T.D. (2013). Transport by Advection and Diffusion. John Wiley & Sons Vogel, G. (2019). Adventure Diffusion Springer Gillespie, D.T.; Seitaridou, E (2013). Simple Brownian Diffusion,Oxford University Press Nakicenovic, N.; Griübler, A.: (1991). Diffusion of Technologies and Social Behavior; Springer Michaud, G.; Alecian, G.; Richer, G.: (2013). Atomic Diffusion in Stars, Springer Stroock, D. W.:, Varadhan, S.R.S.: (2006). Multidimensional diffusion processes, Springer Zhuoqun, W., Yin J., Li H., Zhao J., Jingxue Y., and Huilai L. (2001). Nonlinear diffusion equations, World Scientific Shewmon, P. (1989). Diffusion in Solids, Wiley Banks, R.B. (2010). Growth and diffusion phenomena, Springer Roque-Malherbe, R.M.A. (2007). Adsorption and Diffusion in Nanoporous Materials, CRC Press Cunningham, R. (1980). Diffusion in gases and porous media, Plenum Pasquill, F., Smith, F.B. (1983). Atmospheric diffusion, Horwood Ikeda, N., Watanabe, S. (1981). Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, Elsevier, Academic Press Philibert, J., Laskar, A.L., Bocquet, J.L., Brebec, G., Monty, C. (1990). Diffusion in Materials, Springer Netherlands Freedman, D., (1983). Brownian Motion and Diffusion, Springer-Verlag New York Nagasawa, M., (1993). Schrödinger Equations and Diffusion Theory, Birkhäuser Burgers, J.M., (1974). The Nonlinear Diffusion Equation: Asymptotic Solutions and Statistical Problems, Springer Netherlands Ito, S., (1992). Diffusion Equations, American Mathematical Society Krylov, N. V. (1994). Introduction to the Theory of Diffusion Processes, American Mathematical Society Knight, F.B., (1981). Essentials of Brownian Motion and Diffusion, American Mathematical Society Ibe, O.C., (2013). Elements of random walk and diffusion processes, Wiley Dattagupta, S. (2013). Diffusion: Formalism and Applications, CRC Press
Vezi și Ecuație de continuitate Ecuația propagării căldurii Legile lui Fick Difuzie Maxwell-Stefan
Legături externe Diffusion Calculator for Impurities & Dopants in Silicon
A tutorial on the theory behind and solution of the Diffusion Equation. Classical and nanoscale diffusion (with figures and animations)
Categorie:Fenomene de transport Difuziei
it:Leggi di Fick