Teorema lui Neuberg este o teoremă din geometria euclidiană a triunghiului care descrie o serie de proprietăți legate de triunghiurile echilaterale construite pe laturile unui triunghi oarecare. Teorema poartă numele matematicianului luxemburghez Joseph Jean Baptiste Neuberg. Aceasta stabilește legături între centrele acestor triunghiuri echilaterale, punctele lui Fermat și alte elemente notabile ale geometriei triunghiului.
Enunțul Teoremei Fie un triunghi oarecare . Pe laturile acestuia, , și , se construiesc în exterior trei triunghiuri echilaterale, , și . Fie centrele de greutate (care coincid cu centrele cercurilor circumscrise) ale acestor triunghiuri echilaterale.
Teorema lui Neuberg afirmă următoarele proprietăți fundamentale:
Concurența cevienelor: Dreptele , și sunt ceviene concurente într-un punct , cunoscut ca primul punct al lui Fermat. Triunghiul lui Napoleon: Triunghiul , format de centrele celor trei triunghiuri echilaterale, este el însuși un triunghi echilateral. Acesta este adesea numit triunghiul exterior al lui Napoleon. Intersecția cercurilor circumscrise: Cercurile circumscrise celor trei triunghiuri echilaterale (, , ) se intersectează într-un singur punct, care este același punct de concurență .
miniatura|350x350px|Diagrama teoremei lui Neuberg. Centrele ale triunghiurilor echilaterale exterioare formează triunghiul echilateral (verde). Cevienele , , și cele trei cercuri circumscrise se intersectează în primul punct al lui Fermat, .
Demonstrație
1. Concurența dreptelor , și O metodă elegantă pentru a demonstra concurența acestor drepte folosește rotațiile în plan.
Considerăm o rotație în jurul punctului cu un unghi de . Deoarece triunghiurile și sunt echilaterale:
Rotația transformă în , deoarece și . Rotația transformă în , deoarece și .
Astfel, segmentul este transformat în segmentul . Deoarece o rotație este o izometrie, rezultă că segmentele au lungimi egale, , iar unghiul dintre dreptele suport este de .
Fie punctul de intersecție al dreptelor și . Deoarece se află pe și , iar unghiul dintre ele este de , se poate arăta că și . De asemenea, punctele sunt conciclice, deoarece patrulaterul are , ceea ce implică . Astfel, aparține cercului circumscris triunghiului .
Un raționament analog arată că aparține și cercurilor circumscrise triunghiurilor și . Faptul că aparține cercului circumscris implică faptul că trece prin , ceea ce demonstrează concurența celor trei drepte și, simultan, proprietatea de intersecție a celor trei cercuri.
2. Triunghiul este echilateral Această proprietate este cunoscută și ca Teorema lui Napoleon. O demonstrație poate fi realizată folosind numere complexe.
Fie afixele vârfurilor în planul complex. Afixul centrului al triunghiului echilateral (construit în exterior) este: , unde este o rădăcină de ordinul 6 a unității. Similar, avem:
Pentru a demonstra că este echilateral, este suficient să arătăm că . Calculăm diferența : Calculăm diferența : Folosind relația , se poate simplifica și finaliza calculul pentru a demonstra că triunghiul este echilateral.
Conexiuni și generalizări
Punctele lui Fermat: Dacă triunghiurile echilaterale sunt construite în interiorul triunghiului , dreptele corespunzătoare , și sunt de asemenea concurente într-un punct , numit al doilea punct al lui Fermat. Cubica lui Neuberg: Punctul lui Neuberg, , este un centru de triunghi care se află pe dreapta Euler. Cubica lui Neuberg este o curbă cubică remarcabilă care trece printr-o multitudine de centre importante ale triunghiului, inclusiv vârfurile , centrul cercului circumscris, ortocentrul, punctele lui Fermat și centrele .
Vezi și
Punctele lui Fermat Teorema lui Napoleon Cubica lui Neuberg Geometria triunghiului
Legături externe
en Articol despre Teorema lui Neuberg pe Wolfram MathWorld
Categorie:Teoreme de geometrie