miniatura| O glumă matematică des repetată spune că topologii nu pot distinge o cană de cafea și o gogoașă, deoarece o gogoașă suficient de flexibilă ar putea fi remodelată la forma unei căni de cafea prin crearea unei gropițe și mărirea progresivă a acesteia, păstrând în același timp. gaura gogoșii din mânerul cănii. Acest lucru ilustrează faptul că o cană de cafea și o gogoașă sunt omeomorfe. În matematică și mai precis în topologie, un omeomorfism (din rădăcini grecești, înseamnând „formă similară”, numit de Henri Poincaré), numit și izomorfism topologic sau funcție bicontinuă, este o funcție bijectivă și continuă între spații topologice care are o funcție inversă continuă. Omeomorfismele sunt izomorfismele din categoria spațiilor topologice — adică sunt aplicațiile care păstrează toate proprietățile topologice ale unui spațiu dat. Două spații cu un omeomorfism între ele se numesc omeomorfe, iar din punct de vedere topologic sunt același spațiu.

În linii mari, un spațiu topologic este un obiect geometric, iar un omeomorfism rezultă dintr-o deformare continuă a obiectului într-o formă nouă. Astfel, un pătrat și un cerc sunt omeomorfe unul față de celălalt, dar o sferă și un tor nu sunt. Totuși, această descriere poate fi înșelătoare. Unele deformări continue nu produc omeomorfisme, cum ar fi deformarea unei linii într-un punct. Unele omeomorfisme nu rezultă din deformări continue, cum ar fi omeomorfismul dintre un nod trifoi și un cerc. Omotopia și izotopia sunt definiții precise pentru conceptul informal de deformare continuă.

Definiție O funcție între două spații topologice este un omeomorfism dacă are următoarele proprietăți:

este o bijecție (injectivă și surjectivă), este continuă, funcția inversă este continuă ( este o aplicație deschisă).

Un omeomorfism este uneori numit funcție bicontinuă. Dacă o astfel de funcție există, și se numesc omeomorfe. Proprietatea de a fi „omeomorf” este o relație de echivalență pe spații topologice. Clasele sale de echivalență se numesc clase de omeomorfism.

A treia cerință, aceea ca să fie continuă, este esențială. Fie, de exemplu, funcția (cercul unitate din ) definită prin Această funcție este bijectivă și continuă, dar nu este un omeomorfism ( este compact, dar nu este). Funcția nu este continuă în punctul pentru că, deși trimite în orice vecinătate a acestui punct include și puncte pe care funcția le trimite aproape de dar punctele pe care le trimite în numerele intermediare se află în afara vecinătății.

Omeomorfismele sunt izomorfismele din categoria spațiilor topologice. Ca atare, compunerea a două omeomorfisme este din nou un omeomorfism, iar mulțimea tuturor omeomorfismelor de la la formează un grup, numit grupul omeomorfismelor lui , adesea notat Acestui grup i se poate atribui o topologie, cum ar fi topologia compact-deschisă, care, cu anumite ipoteze, îl transformă într-un grup topologic.

În anumite contexte, există obiecte omeomorfe care nu pot fi deformate continuu unul în altul. Omotopia și izotopia sunt relații de echivalență introduse pentru a trata astfel de situații.

Exemple

Intervalul deschis este omeomorf cu numerele reale pentru orice (În acest caz, o aplicație bicontinuă este dată de , iar alte astfel de aplicații sunt date de versiuni scalate și translatate ale funcțiilor sau ). 2-discul unitate și pătratul unitate din sunt omeomorfe, deoarece discul unitate poate fi deformat în pătratul unitate. Un exemplu de aplicație bicontinuă de la pătrat la disc este, în coordonate polare, Graficul unei funcții derivabile este omeomorf cu domeniul funcției. O parametrizare diferențiabilă a unei curbe este un omeomorfism între domeniul parametrizării și curbă. O hartă locală a unei varietăți este un omeomorfism între o submulțime deschisă a varietății și o submulțime deschisă a unui spațiu euclidean. Proiecția stereografică este un omeomorfism între sfera unitate din cu un singur punct eliminat și mulțimea tuturor punctelor din (un plan 2-dimensional). Dacă este un grup topologic, aplicația de inversare este un omeomorfism. De asemenea, pentru orice translația la stânga translația la dreapta și automorfismul interior sunt omeomorfisme.

Contraexemple și nu sunt omeomorfe pentru Axa reală euclidiană nu este omeomorfă cu cercul unitate ca subspațiu al lui întrucât cercul unitate este compact ca subspațiu al lui , însă axa reală nu este compactă. Intervalele unidimensionale și nu sunt omeomorfe, întrucât primul este compact, iar al doilea nu este compact.

Proprietăți

Două spații omeomorfe au aceleași proprietăți topologice. De exemplu, dacă unul dintre ele este compact, atunci și celălalt este; dacă unul dintre ele este conex, atunci și celălalt este; dacă unul dintre ele este Hausdorff, atunci și celălalt este; grupurile lor de omotopie și omologie vor coincide. Totuși, acest lucru nu se extinde la proprietățile definite printr-o metrică; există spații metrice care sunt omeomorfe chiar dacă unul dintre ele este complet, iar celălalt nu. Un omeomorfism este simultan o aplicație deschisă și o aplicație închisă; adică trimite mulțimi deschise în mulțimi deschise și mulțimi închise în mulțimi închise. Orice omeomorfism poate fi extins la un omeomorfism (Trucul lui Alexander).

Discuție informală

Criteriul intuitiv de întindere, îndoire, tăiere și lipire la loc necesită niște practică pentru a fi aplicat corect — de exemplu, din descrierea de mai sus s-ar putea să nu fie evident că deformarea unui segment de dreaptă într-un punct este inadmisibilă. Prin urmare, este important de înțeles că definiția formală dată mai sus este cea care contează. În acest caz, de exemplu, segmentul de dreaptă are o infinitate de puncte și, prin urmare, nu poate fi pus într-o bijecție cu o mulțime care conține doar un număr finit de puncte, în particular unul singur.

Această caracterizare a unui omeomorfism duce adesea la o confuzie cu conceptul de omotopie, care este de fapt definit ca o deformare continuă, dar de la o funcție la alta, nu de la un spațiu la altul. În cazul unui omeomorfism, vizualizarea unei deformări continue este un instrument mental pentru a ține evidența punctelor din spațiul X care corespund punctelor din Y — pur și simplu se urmăresc pe măsură ce X se deformează. În cazul omotopiei, deformarea continuă de la o aplicație la alta este esențială și este de asemenea mai puțin restrictivă, deoarece niciuna dintre aplicațiile implicate nu trebuie să fie neapărat injectivă sau surjectivă. Omotopia duce într-adevăr la o relație pe spații: echivalența omotopică.

Există un nume pentru tipul de deformare implicat în vizualizarea unui omeomorfism. Este (cu excepția cazului în care sunt necesare tăierea și lipirea) o izotopie între aplicația identică pe X și omeomorfismul de la X la Y.

Note

Legături externe

Categorie:Funcții matematice Categorie:Omeomorfisme