thumb|upright=1.5|Aproximarea iterativă a unei curbe afectată de zgomot printr-un model de vârf asimetric (algoritmul Gauss–Newton cu factor de amortizare variabil α) Aproximarea unei curbe sau ajustarea unei curbe este procesul de construire al unei curbe sau funcții matematice care se potrivește cel mai bine cu o serie de puncte date, Sandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994. William M. Kolb. Curve Fitting for Programmable Calculators. Syntec, Incorporated, 1984. S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. Page 165 (cf. ... functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.) eventual supusă unor constrângeri.The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't. By Nate Silver Data Preparation for Data Mining: Text. By Dorian Pyle. Aproximarea curbei se poate face fie prin interpolare, Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24. Numerical Methods in Engineering with Python 3. By Jaan Kiusalaas. Page 21. unde se cere suprapunerea exact peste punctele date, sau prin netezire, Numerical Methods of Curve Fitting. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349. în care este construită o funcție „netedă” care aproximeză datele. O noțiune înrudită este analiza de regresie, Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos. Regression Analysis By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269. care se concentrează mai mult pe probleme ale statisticii, cum ar fi câtă incertitudine este prezentă într-o curbă care aproximează datele afectate de erori aleatorii. Curbele de aproximare pot fi utilizate ca ajutor pentru vizualizarea datelor, Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689. Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models. By John R. Hauser. Page 227. pentru a deduce valorile unei funcții în zone unde nu sunt disponibile date, Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150. și pentru a sugera relațiile dintre două sau mai multe variabile. Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266. Extrapolarea se referă la utilizarea unei curbe de aproximare dincolo de intervalul datelor observate, Community Analysis and Planning Techniques. By Richard E. Klosterman. Page 1. și este subiectul analizei gradului de incertitudine An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. Pg 69 deoarece poate depinde la fel de mult de metoda utilizată pentru construirea curbei, cum depinde de datele observate.
Pentru analiza liniară a datelor, „ajustarea” înseamnă de obicei a găsi curba care minimizează distanțele pe verticală (pe axa y) ale punctelor față de curbă. Totuși, pentru aplicații grafice, ajustarea geometrică urmărește să ofere cea mai bună ajustare vizuală; ceea ce înseamnă de obicei încercarea de a minimiza distanța perpendiculară pe curbă (de exemplu, metoda celor mai mici pătrate) sau de lua în considerare abaterile pe ambele axe ale unui punct față de curbă. Ajustările geometrice nu sunt populare deoarece necesită de obicei calcule neliniare și/sau iterative, deși au avantajul unui rezultat mai estetic și mai precis din punct de vedere geometric.
Aproximarea punctelor date cu funcții algebrice De obicei se potrivește o funcție de forma .
Aproximarea punctelor date cu funcții liniare și polinomiale thumb|upright=1.5|Curbe polinomiale care aproximează puncte generate cu o funcție sinusoidală. Punctele negre reprezintă datele „adevărate”, curba roșie este un polinom de gradul întâi, curba verde este de gradul al doilea, curba portocalie este de gradul al treilea , iar curba albastră este de gradul al patrulea.
Ecuația polinomială de gradul întâi:
este o dreaptă cu panta . O dreaptă va conecta oricare două puncte, deci o ecuație polinomială de gradul întâi este o aproximare exactă a oricăror două puncte cu coordonate distincte.
Dacă gradul ecuației este mărit, polinomul de gradul al doilea are forma:
Aceasta va potrivi exact o curbă simplă prin trei puncte.
Dacă în ecuație se va folosi un polinom de gradul al treilea:
Curba va trece exact prin patru puncte. O afirmație mai generală ar fi să se spună că se va potrivi exact la patru constrângeri. Fiecare constrângere poate fi un punct, un unghi sau o curbură (care este inversa razei unui cerc osculator). Constrângerile de unghi și curbură sunt cel mai adesea adăugate la capetele unei curbe și, în astfel de cazuri, se numesc condiții finale. Condiții finale identice sunt frecvent utilizate pentru a asigura o tranziție lină între curbele polinomiale generate de funcții spline. Ar putea fi adăugate și constrângeri de ordin superior, cum ar fi „viteza de variație a curburii”. Acest lucru ar fi util de exemplu la proiectarea curbelor drumurilor.
Ecuația polinomială de gradul întâi ar putea fi și o ajustare exactă pentru un singur punct și un unghi, în timp ce ecuația polinomială de gradul al treilea ar putea fi și o ajustare exactă pentru două puncte, un unghi și o curbură. Multe alte combinații de constrângeri sunt posibile pentru acestea și pentru ecuații polinomiale de ordin superior.
Dacă există mai mult de constrângeri ( fiind gradul polinomului), curba polinomială poate totuși satisface acele constrângeri. O potrivire exactă la toate constrângerile nu este sigură (dar s-ar putea întâmpla, de exemplu, în cazul unui polinom de gradul întâi care se potrivește exact la trei puncte coliniare). Însă în general este necesară o metodă pentru a evalua fiecare aproximare. Metoda celor mai mici pătrate este o modalitate de a compara abaterile.
Există mai multe motive pentru a obține o potrivire aproximativă în loc de una exactă: Chiar dacă există o potrivire exactă, nu înseamnă neapărat că aceasta poate fi descoperită cu ușurință. În funcție de algoritmul utilizat, poate exista un caz divergent, în care potrivirea exactă nu poate fi calculată sau ar putea dura prea mult timp pentru a găsi soluția. Această situație ar putea necesita o soluție aproximativă. Poate fi de dorit calcularea mediei punctelor de date discutabile dintr-un eșantion în loc de a distorsiona curba pentru a se potrivi exact cu ele. Fenomenul Runge: polinoamele de ordin superior pot avea oscilații mari. Dacă o curbă trece prin două puncte A și B, este de așteptat ca aceasta să se desfășoare oarecum în apropierea punctului de mijloc dintre A și B. Acest lucru s-ar putea să nu se întâmple și în cazul curbelor polinomiale de ordin superior; acestea pot avea chiar valori foarte mari pozitive sau negative. În cazul polinoamelor de ordin inferior, este mai probabil ca curba să treacă prin apropierea punctului de mijloc (este chiar garantat că va trece exact prin punctul de mijloc la un polinom de gradul întâi). Polinoamele de grad mic tind să fie netede, iar curbele polinomiale de grad mare tind să aibă oscilații mari. Pentru a defini acest lucru mai precis, numărul maxim de puncte de inflexiune posibile într-o curbă polinomială este unde este ordinul ecuației polinomiale. Un punct de inflexiune este un loc unde curba trece de la o rază pozitivă la una negativă sau invers. Este posibil ca polinoamele de ordin superior să fie netede, dar nu există nicio garanție în acest sens, spre deosebire de curbele polinomiale de grad mic. Un polinom de gradul cincisprezece ar putea avea cel mult treisprezece puncte de inflexiune, dar ar putea avea și unsprezece, sau nouă sau orice număr impar până la unu. (Polinoamele de grad par ar putea avea orice număr par de puncte de inflexiune de la până la zero.)
Un grad al curbei polinomiale mai mare decât cel necesar pentru o potrivire exactă este nedorit din toate motivele enumerate anterior pentru polinoamele de ordin superior, dar duce și la un caz în care există un număr infinit de soluții. De exemplu, un polinom de gradul întâi (o dreaptă) constrâns de un singur punct în loc de cele două, ca de obicei, ar da un număr infinit de soluții. Aceasta ridică problema modului de comparare și alegere a unei singure soluții, ceea ce poate fi o problemă atât pentru software, cât și pentru oameni. Din acest motiv de obicei cel mai bine este să se aleagă un grad cât mai mic posibil pentru o potrivire exactă a tuturor constrângerilor și poate chiar un grad mai mic, dacă o potrivire aproximativă este acceptabilă.
Aproximarea punctelor date cu alte funcții thumb|upright=1.25|Relația dintre producția de grâu și salinitatea solului Calculator for sigmoid regression Alte tipuri de curbe, cum ar fi cele trigonometrice (cum ar fi sinusul și cosinusul), pot fi și ele utilizate în anumite cazuri.
În spectroscopie, datele pot fi aproximate cu distribuții Gauss, Lorentz, Voigt și funcții conexe.
În biologie, ecologie, demografie, epidemiologie și multe alte discipline, creșterea unei populații, răspândirea bolilor infecțioase etc. pot fi aproximate folosind .
În agricultură, funcția sigmoidă (curba S, inversa funcției logistice) este utilizată pentru a descrie relația dintre productivitatea culturilor și factorii de creștere. Figura de alături a fost realizată printr-o regresie sigmoidă a datelor măsurate pe terenurile agricole. Se poate observa că inițial, adică la o salinitate scăzută a solului, productivitatea culturilor se reduce lent odată cu creșterea salinității solului, în timp ce ulterior scăderea progresează mai rapid.
Aproximarea punctelor date cu curbe geometrice plane Dacă o funcție de forma nu poate fi postulată, se poate încerca în continuare să se ajusteze o curbă plană.
Alte tipuri de curbe, cum ar fi conicele (arce de cerc, de elipsă, de parabolă și de hiperbolică) sau funcții trigonometrice (cum ar fi sinusul și cosinusul), pot fi și ele utilizate în anumite cazuri. De exemplu, atunci când rezistența aerului este ignorată, traiectoriile obiectelor aflate sub influența gravitației sunt parabole. Prin urmare, potrivirea punctelor de pe traiectorie cu o curbă parabolică ar avea sens. Mareele urmează modele sinusoidale, prin urmare, punctele privind mareele ar trebui potrivite cu o undă sinusoidală sau, dacă se iau în considerare ambele efecte, ale Lunii și Soarelui, cu suma a două unde sinusoidale cu perioade diferite.
Pentru o curbă parametrică este eficient să se potrivească fiecare dintre coordonatele sale ca o funcție separată a lungimii arcului. Presupunând că punctele pot fi ordonate, se poate utiliza lungimea coardei. Ahlberg & Nilson (1967) [The theory of splines and their applications, Academic Press, 1967, p. 51
Aproximarea cu un arc de cerc thumb|Aproximarea punctelor cu un arc de cerc cu centrul (1; 1) și raza 4 prin metoda Coope thumb|Diferite modele de aproximare cu o elipsă thumb|Aproximarea punctelor prin minimizarea distanțelor față de o elipsă prin metoda Fitzgibbon
Coope abordează problema de a găsi cea mai bună potrivire vizuală a unui cerc cu un set de puncte. Metoda transformă elegant o problemă de obicei neliniară într-o problemă liniară, care poate fi rezolvată fără a utiliza metode numerice iterative, prin urmare este mult mai rapidă decât tehnicile anterioare.
Ajustarea aritmetică a unei elipse Ecuația unei secțiuni conice (inclusiv elipsele) are forma:
pentru puncte cu coordonate carteziene pe frontieră.
Pentru un set de puncte împrăștiate și o elipsă fixă, membrul drept ale acestei ecuații nu mai este zero. O abordare pentru ajustarea unei elipse la puncte este de a găsi cei șase parametri la astfel încât suma (pătratelor) reziduurilor din membrul drept să fie minimizată. Aceasta duce la o problemă de regrsie liniară prin metoda celor mai mici pătrate, care este practic rezolvată prin găsirea vectorilor proprii ai unei matrice asociate care conține sume de puteri mixte ale .
Aproximarea cu o elipsă ajustată geometric