În teoria cuantică a câmpurilor, un operator de ordine sau un câmp de ordine este un local a cărui joacă rolul unui parametru de ordine în sensul teoriei lui Landau și poate distinge între faze diferite ale unui sistem. Într-o fază ordonată, valoarea de așteptare a unui astfel de operator este, în general, diferită de zero, în timp ce într-o fază dezordonată ea poate să dispară, în funcție de simetria și de tipul transformării de fază.
Dual față de acesta este operatorul de dezordine sau câmpul de dezordine, a cărui valoare de așteptare poate caracteriza faza dezordonată ori faze topologice și care este asociat, în multe exemple, cu defecte, vortici sau cu impunerea unei monodromii pentru câmpurile obișnuite.
Un operator de dezordine este, în general, un operator definit nu printr-o expresie locală polinomială în câmpuri, ci printr-o condiție singulară sau de ramificare impusă configurațiilor de câmp din jurul punctului, liniei sau suprafeței unde este inserat. Cu alte cuvinte, el creează o discontinuitate a operatorilor de ordine ori o a valorilor acestora.
Exemple importante sunt , care sunt operatori de dezordine în teoriile gauge și sunt definiți prin prescrierea unui comportament singular al câmpurilor gauge în jurul suportului operatorului. În anumite sisteme unidimensionale sau bidimensionale, și este strâns legată de introducerea unor variabile ne-locale de tip ordine–dezordine.
Conceptul de observabil de dezordine a fost introdus istoric în contextul rețelelor bidimensionale de spini Ising, unde Kadanoff și Ceva au definit variabile de dezordine duale față de spin, utile pentru descrierea transformării dintre faza ordonată (magnetizată) și faza dezordonată.Fradkin, E. J Stat Phys (2017) 167: 427. https://doi.org/10.1007/s10955-017-1737-7
Istoric Conceptul de operator de dezordine a apărut în studiul modelului Ising bidimensional, unde Kadanoff și Ceva au introdus variabile duale față de spin pentru a descrie algebra operatorilor la punctul critic. Această construcție a devenit ulterior un model pentru operatorii de dezordine din teoria câmpurilor și din teoriile gauge.
În dezvoltările ulterioare, noțiunea a fost generalizată la operatori de linie, de suprafață și la defecte topologice în teorii gauge și în teorii conforme. În lucrările moderne, operatorii de ordine și de dezordine sunt tratați ca instrumente centrale pentru înțelegerea dualităților, a structurii fazelor și a observabilelor nelocale.
Relația cu parametrul de ordine În teoria transformărilor de fază de tip Landau, un parametru de ordine este o mărime care distinge între faze diferite ale unui sistem. În mod tipic, el este nul în faza simetrică și nenul în faza în care simetria este ruptă spontan.
În teoria cuantică a câmpurilor, această idee este reformulată în termenii unui operator local sau ai unui câmp a cărui valoare de așteptare joacă rolul parametrului de ordine. Astfel, un operator de ordine este relevant nu atât prin forma sa explicită, cât prin faptul că valoarea sa de așteptare poate caracteriza faza sistemului și comportarea sa la o transformare de fază.
Această corespondență este deosebit de importantă în sistemele în care descrierea microscopică este formulată în termeni de câmpuri cuantice, iar fazele sunt identificate prin simetrii, defecte sau dualități. În astfel de cazuri, operatorii de ordine și de dezordine furnizează o generalizare a noțiunii clasice de parametru de ordine și permit descrierea unor faze care nu sunt ușor de caracterizat prin mărimi locale simple.
Dualitatea ordine–dezordine În multe sisteme, operatorii de ordine și de dezordine apar în perechi duale. În astfel de descrieri, o fază care este ordonată din punctul de vedere al unui operator poate apărea ca dezordonată din punctul de vedere al operatorului dual, iar transformările duale schimbă între ele cele două tipuri de observabile.
Exemplul clasic este dualitatea Kramers–Wannier din modelul Ising bidimensional, unde variabilele de spin și variabilele de dezordine sunt transformate unele în altele. În această formulare, corelatorii de ordine și cei de dezordine oferă descrieri complementare ale aceleiași transformări de fază.
În teorii mai abstracte, dualitatea ordine–dezordine este strâns legată de schimbul dintre defecte de tip Wilson și defecte de tip ’t Hooft. Această perspectivă face posibilă interpretarea operatorilor de ordine și de dezordine ca observații la frontieră ale unor defecte topologice definite într-o teorie gauge în dimensiune mai mare.
Exemple Modelul Ising În modelul Ising bidimensional, operatorul de ordine este asociat variabilei de spin, a cărei valoare de așteptare este nenulă în faza feromagnetică ordonată și nulă în faza dezordonată. Operatorul de dezordine dual este definit pe rețeaua duală și poate fi interpretat drept inserția unei frustrări sau a unei linii de ramificare în sistem.
Sub dualitatea Kramers–Wannier, operatorii de ordine și de dezordine sunt schimbați între ei. Din acest motiv, modelul Ising rămâne exemplul canonic pentru introducerea noțiunii de operator de dezordine în mecanica statistică și în teoria câmpurilor conforme bidimensionale.
Teorii gauge În teoriile gauge, observabilele de tip ordine și dezordine sunt realizate adesea prin operatori extinși. măsoară holonomia câmpului gauge și sunt folosiți frecvent drept parametri de ordine pentru anumite regimuri, în timp ce sunt operatori de dezordine definiți prin prescrierea unui comportament singular al câmpului gauge în jurul curbei sau suprafeței pe care sunt suportați.
Distincția dintre aceste observabile are un rol central în discuțiile despre confinare, deconfinare și dualitate electromagnetică. În multe teorii, regimul fizic poate fi caracterizat mai adecvat prin comportamentul operatorilor de linie decât printr-un parametru de ordine local în sensul teoriei lui Landau.
Aplicații Operatorii de ordine și de dezordine sunt folosiți pentru caracterizarea transformărilor de fază, pentru formularea dualităților și pentru descrierea defectelor topologice. Ei apar în mecanica statistică, în teoria cuantică a câmpurilor, în teoriile gauge pe rețea și în studiul sistemelor cuantice puternic corelate.
În teoriile moderne ale materiei condensate, aceste noțiuni sunt importante mai ales atunci când o fază nu poate fi descrisă complet prin rupere de simetrie și printr-un parametru de ordine local. În astfel de situații, operatorii de dezordine, defectele și observabilele nelocale pot conține informația relevantă despre structură și excitații.
Relația cu ordinea topologică Noțiunea de operator de ordine provine din paradigma lui Landau, în care fazele sunt clasificate prin ruperea spontană a unei simetrii și prin existența unui parametru de ordine local. Totuși, există faze cuantice pentru care această descriere este insuficientă, deoarece ele nu se disting prin simetrii locale rupte, ci prin proprietăți globale sau topologice.
În asemenea cazuri, operatorii de dezordine și operatorii extinși pot fi mai potriviți decât operatorii de ordine locali pentru caracterizarea fazei. Literatura recentă arată că ordinea topologică și ruperea de simetrie pot chiar coexista, iar operatorii de ordine și de dezordine oferă atunci descrieri complementare ale aceleiași teorii.
Note
Lectură suplimentară
Kleinert, Hagen, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, " SUPERFLOW AND VORTEX LINES", pp. 1–742, Vol. II, "STRESSES AND DEFECTS", pp. 743–1456, World Scientific (Singapore, 1989); Paperback (also available online: Vol. I and Vol. II )
Vezi și
Categorie:Teoria cuantică a câmpurilor Categorie:Tranziții de fază Categorie:Mecanică statistică