Metoda matricii de transfer este o metodă utilizată în optică și acustică pentru analiza propagarea undelor electromagnetice sau printr-un — un ansamblu de .Born, M.; Wolf, E., Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. Oxford, Pergamon Press, 1964.Mackay, T. G.; Lakhtakia, A., The Transfer-Matrix Method in Electromagnetics and Optics. San Rafael, CA, Morgan and Claypool, 2020. Aceasta este relevantă, de exemplu, pentru și proiectarea .

Reflexia luminii la o singură interfață dintre două este descrisă de . Totuși, când există mai multe interfețe, ca în figură, reflexiile sunt ele însele parțial transmise și apoi din nou parțial reflectate. În funcție de lungimea exactă a drumului optic, aceste reflexii pot interfera distructiv sau constructiv. Reflexia totală a unei structuri stratificate este suma unui număr infinit de reflexii.

Metoda matricii de transfer se bazează pe faptul că, potrivit ecuațiilor lui Maxwell, există condiții simple de continuitate pentru câmpul electric la trecerea dintr-un mediu în altul. Dacă câmpul este cunoscut la începutul unui strat, câmpul de la sfârșitul stratului poate fi dedus printr-o simplă operație cu matrice. Un ansamblu de straturi poate fi apoi reprezentat printr-o matrice de sistem, care este produsul matricelor individuale ale straturilor. Etapa finală a metodei constă în transformarea înapoi a matricei de sistem în coeficienți de reflexie și de .

Formalism pentru unde electromagnetice

În cele ce urmează se descrie modul în care matricea de transfer este aplicată undelor electromagnetice (de exemplu luminii) de o anumită frecvență care se propagă printr-un ansamblu de straturi la incidență normală. Formalismul poate fi generalizat pentru a trata incidența sub unghi, mediile absorbante și medii cu proprietăți magnetice. Se presupune că straturile sunt normale pe axa și că câmpul din interiorul unui strat poate fi reprezentat ca suprapunerea unei unde care se propagă spre stânga și a uneia care se propagă spre dreapta, cu ,

Deoarece din ecuațiile lui Maxwell rezultă că câmpul electric și câmpul magnetic (derivata sa normalizată) trebuie să fie continue la o limită, este convenabil ca câmpul să fie reprezentat ca vectorul , unde

Deoarece există două ecuații care leagă și de și , aceste două reprezentări sunt echivalente. În noua reprezentare, propagarea pe o distanță în sensul pozitiv al lui este descrisă de matricea aparținând

iar

O astfel de matrice poate reprezenta propagarea printr-un strat dacă este numărul de undă din mediu, iar este grosimea stratului. Pentru un sistem cu straturi, fiecare strat are o matrice de transfer , unde crește spre valori mai mari ale lui . Matricea de transfer a sistemului este atunci

De regulă, se dorește determinarea reflectanței și a transmitanței structurii stratificate. Dacă ansamblul de straturi începe la , atunci pentru valori negative ale lui , câmpul este descris prin

unde este amplitudinea undei incidente, este numărul de undă în mediul din stânga, iar este coeficientul de reflectanță în amplitudine (nu în intensitate) al structurii stratificate. De cealaltă parte a structurii, câmpul constă dintr-un câmp transmis care se propagă spre dreapta,

unde este transmitanța în amplitudine, este numărul de undă în mediul din extrema dreaptă, iar este grosimea totală. Dacă și , atunci se poate rezolva

în funcție de elementele de matrice ale matricei de sistem și se obțin

și

Transmitanța și reflectanța, adică fracțiile din intensitatea incidentă care sunt transmise, respectiv reflectate de strat, sunt adesea mai utile practic și sunt date de și, respectiv, (la incidență normală).

Exemplu Ca ilustrare, să considerăm un singur strat de sticlă cu indice de refracție n și grosime d, suspendat în aer, pentru un număr de undă k (în aer). În sticlă, numărul de undă este . Matricea de transfer este

Coeficientul de reflexie în amplitudine se poate simplifica la

Această configurație descrie efectiv un sau un etalon: pentru , reflexia dispare.

Unde acustice

Metoda matricii de transfer poate fi aplicată și undelor sonore. În locul câmpului electric E și al derivatei sale H, trebuie folosite deplasarea u și tensiunea , unde este .

Formalismul matricii Abeles

Metoda matricii AbelesO. S. Heavens. Optical Properties of Thin Films. Butterworth, London (1955). este o metodă de calcul rapidă și ușor de aplicat pentru determinarea reflectivității speculare a unei interfețe stratificate, în funcție de perpendicular, :

unde este unghiul de incidență/reflexie al radiației incidente, iar este lungimea de undă a radiației.

Reflectivitatea măsurată depinde de variația profilului densității lungimii de împrăștiere (SLD), , perpendicular pe interfață. Deși profilul densității lungimii de împrăștiere este de obicei o funcție continuă de variație, structura interfeței poate fi adesea aproximată bine printr-un model de tip slab, în care straturi de grosime (), densitate a lungimii de împrăștiere () și rugozitate () sunt inserate între suprafază și subfază. Se utilizează apoi o procedură de rafinare pentru a minimiza diferențele dintre curbele teoretice și cele măsurate ale reflectivității, prin modificarea parametrilor care descriu fiecare strat.

În această descriere, interfața este împărțită în straturi. Deoarece fasciculul incident de neutroni este refractat de fiecare strat, vectorul de undă în stratul este dat de:

Coeficientul de dintre stratul și este atunci:

Deoarece interfața dintre fiecare două straturi este improbabil să fie perfect netedă, rugozitatea/difuzivitatea fiecărei interfețe modifică coeficientul Fresnel și este luată în calcul printr-o ,

Se introduce un factor de fază, , care ține seama de grosimea fiecărui strat:

unde .

Se calculează apoi o matrice caracteristică, , pentru fiecare strat:

Matricea rezultantă este definită ca produsul ordonat al acestor matrici caracteristice:

din care reflectivitatea se calculează prin:

Note

Lectură suplimentară

Multilayer Reflectivity: first-principles derivation of the transmission and reflection probabilities from a multilayer with complex indices of refraction. Layered Materials and Photonic Band Diagrams (Lecture 23) in MIT Open Course Electronic, Optical and Magnetic Properties of Materials. EM Wave Propagation Through Thin Films & Multilayers (Lecture 13) in MIT Open Course Nano-to-Macro Transport Processes. Includes short discussion acoustic waves.

Vezi și

Legături externe Există o serie de programe de calculator care implementează acest calcul:

FreeSnell este un program de calculator independent care implementează metoda matricii de transfer, inclusiv aspecte mai avansate, cum ar fi peliculele granulare. Thinfilm este o interfață web care implementează metoda matricii de transfer, generând coeficienți de reflexie și transmisie, precum și parametrii elipsa metrici Psi și Delta. Programe de calcul al matricii de transfer în Python și în Mathematica. Software EMPy („Electromagnetic Python”). motofit este un program pentru analiza datelor de reflectometrie neutronică și cu raze X.

OpenFilters este un program pentru proiectarea filtrelor optice. Py_matrix este un cod Python open source care implementează metoda transfer-matrice pentru multistraturi cu tensori dielectrici arbitrari. A fost creat special pentru calcule plasmonice și magnetoplasmonice. Calculator și program de ajustare în browser Calculator interactiv de reflectivitate Javascript folosind metoda matricii și aproximarea rugozității Nevot-Croce (nucleu de calcul convertit din C prin Emscripten)

Categorie:Electromagnetism