Modelul Heisenberg cuantic, dezvoltat de Werner Heisenberg, este un model de mecanică statistică utilizat în studiul punctelor critice și al transformărilor de fază din sistemele magnetice, în care spinii sistemelor magnetice sunt tratați cuantic. El este înrudit cu prototipicul model Ising, în care la fiecare nod al unei rețele un spin reprezintă un dipol magnetic microscopic al cărui moment magnetic este orientat fie în sus, fie în jos. Pe lângă cuplajul dintre momentele dipolare magnetice, există și o versiune multipolară a modelului Heisenberg, numită .
Prezentare generală Din motive cuantice (a se vedea sau ), cuplajul dominant dintre doi dipoli poate face ca vecinii cei mai apropiați să aibă energie minimă atunci când sunt aliniați. Sub această ipoteză (astfel încât interacțiunile magnetice să aibă loc numai între dipoli adiacenți) și pe o rețea periodică unidimensională, hamiltonianul poate fi scris sub forma
,
unde este constanta de cuplaj, iar dipolii sunt reprezentați prin vectori clasici (sau „spini”) , supuși condiției periodice la limită .
Modelul Heisenberg este un model mai realist, deoarece tratează spinii cuantic, prin înlocuirea spinului cu un care acționează asupra , de dimensiune . Pentru a-l defini, reamintim matricile lui Pauli pentru spin 1/2:
,
,
,
iar pentru și se notează , unde este matricea identitate . Pentru o alegere a constantelor reale de cuplaj și , hamiltonianul este dat de
unde din membrul drept reprezintă câmpul magnetic extern, cu condiții la limită periodice. Obiectivul este determinarea hamiltonianului, din care se poate calcula și se poate studia termodinamica sistemului.
Este obișnuit ca modelul să fie denumit în funcție de valorile lui , și : dacă , modelul se numește modelul Heisenberg XYZ; în cazul , este modelul Heisenberg XXZ; iar dacă , este modelul Heisenberg XXX. Modelul Heisenberg unidimensional de spin 1/2 poate fi rezolvat exact prin Bethe Ansatz. În formularea algebrică, aceste modele sunt corelate cu anumite și cu grupuri cuantice eliptice în cazurile XXZ și, respectiv, XYZ. Alte abordări obțin rezultate și fără Bethe ansatz.
Modelul XXX Fizica modelului Heisenberg XXX depinde puternic de semnul constantei de cuplaj și de dimensiunea spațiului. Pentru pozitiv, starea fundamentală este întotdeauna feromagnetică. Pentru negativ, starea fundamentală este antiferomagnetică bidimensional și tridimensional. Unidimensional, natura corelațiilor din modelul Heisenberg antiferomagnetic depinde de spinul dipolilor magnetici. Dacă spinul este întreg, este prezentă doar ordine cu rază scurtă. Un sistem de spini prezintă cvasi-ordine cu rază lungă.
O versiune simplificată a modelului Heisenberg este modelul Ising unidimensional, în care câmpul magnetic transversal este pe direcția x, iar interacțiunea există numai pe direcția z:
.
La valori mici ale lui g și la valori mari ale lui g, degenerescența stării fundamentale este diferită, ceea ce implică existența unei între aceste regimuri. Punctul critic poate fi rezolvat exact folosind analiza dualității. Tranziția duală a matricelor lui Pauli este dată de și , unde și sunt, de asemenea, matrice Pauli care satisfac algebra matricelor lui Pauli. Sub condiții periodice la limită, se poate arăta că hamiltonianul transformat are o formă foarte asemănătoare:
dar cu atașat termenului de interacțiune al spinilor. Presupunând că există un singur punct critic, se poate concluziona că transformarea de fază are loc la .
Soluția prin Bethe ansatz
Bethe ansatz este considerată metoda pionieră care a pus bazele domeniului sistemelor cuantice integrabile. Tehnicile matematice dezvoltate de Hans Bethe în acest context au fost ulterior aplicate pe scară largă la rezolvarea multor alte modele cuantice unidimensionale cu multe corpuri. Pentru cercetătorii din fizica materiei condensate, articolul său a marcat un moment de cotitură, reprezentând trecerea de la „teorii aproximative” (precum teoria câmpului mediu) la „soluții exacte”.
Această descoperire i-a condus în cele din urmă pe laureatul Nobel Chen-Ning Yang și pe fratele său Chen-Ping Yang să efectueze lucrări riguroase importante asupra modelului Heisenberg unidimensional și a extensiei sale, modelul XXZ. Rezultatele lor au fost publicate în Physical Review, jurnalul American Physical Society. Această serie de articole foarte influente, publicate în 1966, este cunoscută în mod colectiv drept lucrarea clasică a fraților Yang asupra lanțurilor cuantice de spin.
Primul articol: demonstrarea validității ipotezei lui Bethe. Această lucrare a demonstrat riguros că, pentru lanțuri Heisenberg anizotrope de lungime finită (modelul XXZ), funcțiile de undă obținute prin ansatz-ul lui Bethe sunt într-adevăr stări proprii ale hamiltonianului. Ea a oferit o completare matematică esențială și o formalizare a lucrării originale a lui Bethe. Al doilea articol: proprietățile energiei stării fundamentale. În limita termodinamică a unui lanț infinit, autorii au calculat energia stării fundamentale și i-au analizat proprietățile analitice. Al treilea articol: aplicații și stări excitate. Acest studiu a explorat aplicațiile fizice ale modelului, inclusiv curbele de magnetizare și susceptibilitatea magnetică.
Modelul XXX1/2 Urmând abordarea lui (1996), spectrul hamiltonianului pentru modelul XXX
poate fi determinat prin Bethe ansatz. În acest context, pentru o familie definită adecvat de operatori , dependenți de un parametru spectral , care acționează asupra spațiului Hilbert total , cu fiecare , un vector Bethe este un vector de forma
unde .
Dacă valorile satisfac ecuația lui Bethe
atunci vectorul Bethe este un vector propriu al lui cu valoarea proprie .
Familia , împreună cu alte trei familii, provine dintr-o matrice de transfer (definită la rândul ei folosind o ), care acționează pe împreună cu un spațiu auxiliar și poate fi scrisă ca o matrice de blocuri cu elemente din ,
care satisface similare ca formă cu , folosite pentru deducerea ecuațiilor lui Bethe. Aceste relații arată, de asemenea, existența unei subalgebre comutative mari date de funcția generatoare exponențială , deoarece . Astfel, atunci când este scrisă ca polinom în , coeficienții săi comută toți între ei și generează o subalgebră comutativă din care face parte și . Vectorii Bethe sunt, de fapt, vectori proprii simultani pentru întreaga subalgebră.
Modelul XXXs Pentru spini mai mari, să spunem spin , se înlocuiesc cu , provenite din , de dimensiune . Hamiltonianul XXXs
este rezolvabil prin Bethe ansatz, cu ecuațiile lui Bethe
Modelul XXZs Pentru spin și un parametru care descrie deformarea față de modelul XXX, EAB (ecuația ansatz-ului lui Bethe) este
În mod remarcabil, pentru , acestea sunt exact ecuațiile ansatz-ului lui Bethe pentru modelul cu șase vârfuri, după identificarea , unde este parametrul de anizotropie al modelului cu șase vârfuri. Inițial s-a crezut că acest fapt este întâmplător, până când Baxter a arătat că hamiltonianul XXZ este conținut în algebra generată de matricea de transfer , dată exact prin
Teorema Lieb–Schultz–Mattis Teorema Lieb–Schultz–Mattis (LSM) demonstrează că, într-un model Heisenberg antiferomagnetic unidimensional cu spini semiîntregi, sub simetrie de translație și simetrie de rotație a spinului, trebuie să existe o stare excitată. Această stare excitată are aceeași magnetizare ca starea fundamentală, dar diferă prin impulsul cristalin cu , iar în limita termodinamică devine degenerată cu energia stării fundamentale. Cu alte cuvinte, spectrul de energie al unui model Heisenberg unidimensional cu spini semiîntregi este fără hiatus energetic. Ulterior, teorema LSM a fost generalizată de fizicianul japonez Masaki Oshikawa, extinzându-i aplicabilitatea de la lanțurile unidimensionale originale cu spini semiîntregi la sisteme de dimensiuni superioare.
Conjectura lui Haldane Conform teoremei LSM, starea fundamentală a modelului Heisenberg antiferomagnetic unidimensional cu spini semiîntregi (, ...) nu are hiatus de spin. Totuși, modelul Heisenberg antiferomagnetic unidimensional cu spini întregi (, ...) nu intră în cadrul teoremei LSM și poate avea, prin urmare, proprietăți fundamental diferite. Duncan Haldane a propus că starea fundamentală a lanțului Heisenberg antiferomagnetic cu spin întreg posedă un hiatus de spin, predicție cunoscută ulterior sub numele de conjectura lui Haldane, iar hiatusul însuși este denumit hiatusul Haldane.
Conjectura lui Haldane a fost verificată pe scară largă atât prin calcule numerice, cât și prin măsurători experimentale ale hiatusului de spin în materiale cu lanțuri de spini întregi. Aceasta i-a inspirat în continuare pe fizicieni să investigheze originea hiatusului și relația sa cu proprietățile topologice, marcând o etapă importantă în înțelegerea fazelor topologice și a transformărilor topologice de fază în materie. Pentru „descoperirile teoretice ale transformărilor de fază topologice și ale fazelor topologice ale materiei”, Duncan Haldane a împărțit Premiul Nobel pentru Fizică din 2016 cu J. Michael Kosterlitz și David Thouless.
Aplicații Un alt obiect important este . O modalitate de a o descrie este subdivizarea stării fundamentale unice într-un bloc (mai mulți spini succesivi) și mediul înconjurător (restul stării fundamentale). Entropia blocului poate fi considerată drept entropie de întrepătrundere. La temperatura zero absolut, în regiunea critică (), ea se scalează logaritmic cu dimensiunea blocului. Pe măsură ce temperatura crește, dependența logaritmică se transformă într-o funcție liniară. Pentru temperaturi mari, dependența liniară rezultă din principiul al doilea al termodinamicii. Modelul Heisenberg oferă un exemplu teoretic important și tratabil pentru aplicarea renormalizării prin matrice densitate. Modelul cu șase vârfuri poate fi rezolvat folosind Bethe ansatz algebric pentru lanțul Heisenberg de spin . la umplere pe jumătate, în limita interacțiunilor repulsive puternice, poate fi transpus într-un model Heisenberg cu , care reprezintă intensitatea interacțiunii de . Limitele modelului atunci când distanța dintre nodurile rețelei tinde la zero (și se iau diferite limite pentru variabilele care apar în teorie) descriu teorii de câmp integrabile, atât nerelativiste, cum ar fi ecuația Schrödinger neliniară, cât și relativiste, precum , modelul sigma (care este și un ) și . Calculul anumitor în limita planară sau de mare a
Simetrie extinsă Integrabilitatea este susținută de existența unor algebre mari de simetrie pentru diferitele modele. În cazul XXX, aceasta este , iar în cazul XXZ este , , așa cum este explicat în notele lui Faddeev (1996).
Acestea apar prin intermediul matricei de transfer, iar condiția ca vectorii Bethe să fie generați dintr-o stare care satisface corespunde faptului că soluțiile fac parte dintr-o a algebrelor de simetrie extinsă.
Note
Bibliografie R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982
Vezi și Modelul Heisenberg clasic DMRG
Categorie:Fizică statistică