O rețea de discretizare este o aproximație a unui domeniu geometric mai mare prin celule discrete mai mici. Aceste rețele sunt folosite de obicei pentru a calcula soluții ale ecuațiilor cu derivate parțiale și a le reda folosind grafica digitală, precum și pentru a analiza date geografice și cartografice. O rețea de discretizare divide spațiul în „elemente” (sau „celule”) în care pot fi rezolvate ecuațiile, ceea ce aproximează apoi soluția pe întregul domeniu. Limitele elementelor pot fi constrânse să se afle pe frontierele interne sau externe dintr-un model. Elementele de calitate superioară (cu o formă mai bună) au proprietăți numerice mai bune, unde ce înseamnă „mai bun” depinde de ecuațiile generale și de soluția particulară ale modelului.

Forme obișnuite de celule Forme bidimensionale thumb|upright=1.5|Forme de bază bidimensionale ale celulelor: triunghi și patrulater De obicei se folosesc două tipuri de forme de celule bidimensionale: triunghiulare și patrulatere.

Din punct de vedere computațional, elementele au o calitate cu atât mai slabă cu cât unghiurile lor interioare sau raportul laturilor sunt mai mici.

Triunghi Forma celulei are 3 laturi și generează una dintre cele mai simple rețele de discretizare. O rețea bidimensională cu triunghiuri este întotdeauna rapid și ușor de creat. Este cea mai frecvent folosită formă la rețelele nestructurate.

Patrulater Forma celulei are 4 laturi. Este cea mai frecvent folosită formă la rețelele structurate. De obicei nu se folosesc patrulatere concave.

Forme tridimensionale thumb|upright=1.5|Forme de bază tridimensionale ale celulelor: tetraedru, piramidă patrulateră, prismă triunghiulară, hexaedru Elementele tridimensionale de bază sunt tetraedrul, piramida patrulateră, prisma triunghiulară și hexaedrul. Toate au fețe triunghiulare și patrulatere.

Modelele bidimensionale extrudate pot fi formate în întregime din prisme și hexaedre ca triunghiuri și patrulatere extrudate. În general, fețele patrulatere în spațiul tridimensional pot să nu fie perfect plane. O față patrulateră care nu este plană poate fi considerată un volum tetraedric subțire, care este comun la două elemente vecine.

Tetraedru Un tetraedru are 4 vârfuri, 6 laturi și este mărginit de 4 fețe triunghiulare. În majoritatea cazurilor, o rețea tridimensională tetraedrică poate fi generată automat.

Piramidă O piramidă cu bază pătrată are 5 vârfuri, 8 laturi și este delimitată de 4 fețe triunghiulare și o față patrulateră. Acestea sunt utilizate eficient ca elemente de tranziție între elementele cu fețe patrulatere și triunghiulare, precum și în rețele hibride.

Prismă triunghiulară O prismă triunghiulară are 6 vârfuri, 9 laturi și este delimitată de 2 fețe triunghiulare și 3 fețe patrulatere. Avantajul acestui tip de celulă este că rezolvă eficient modelarea stratului limită.

Hexaedru Un hexaedru (cuboid) este topologic un cub, are 8 vârfuri, 12 laturi și 6 fețe patrulatere. În contextul rețelelor, un cuboid este adesea numit „cărămidă”. La același număr de celule, acuratețea soluției obținută folosind rețele cu hexaedre este cea mai bună.

Celule poliedrice duale Un element poliedric dual are orice număr de vârfuri, laturi și fețe. De obicei, necesită mai multe operațiuni de calcul per celulă datorită numărului mai mare de elemente vecine (de obicei 10). Însă acest lucru este compensat prin creșterea acurateței calculului.

Clasificarea rețelelor thumb|Grilă bidimensională structurată thumb|Rețea bidimensională nestructurată Rețele structurate Rețelele structurate sunt identificate prin conectivitate regulată. Elementele posibile sunt patrulatere în bidimensional și hexaedre în tridimensional. Acest model este foarte eficient din punct de vedere al spațiului, deoarece relațiile de vecinătate sunt definite prin aranjamentul celulelor. Alte avantaje ale grilei structurate față de cea nestructurată sunt o convergență mai bună și o rezoluție mai mare. Dezavantajul lor este aplicabilitatea doar la domenii cu geometrii simple și, totodată, simplu conexe.

Rețele nestructurate Rețelele nestructurate sunt identificate prin conectivitate neregulată. Conectivitatea nu poate fi exprimată cu ușurință ca un bidimensional sau tridimensional în memoria computerului. Aceasta permite utilizarea oricărui element posibil de către rutina de rezolvare. Comparativ cu rețelele structurate, pentru care relațiile de vecinătate sunt implicite, acest model poate fi extrem de ineficient din punct de vedere al spațiului, deoarece necesită stocarea explicită a relațiilor de vecinătate. Aceste grile utilizează de obicei triunghiuri în bidimensional și tetraedre în tridimensional. Sunt singurele rețele aplicabile la domenii cu geometrii care nu sunt și simple și conexe.

Rețele hibride O grilă hibridă conține un amestec de porțiuni structurate și porțiuni nestructurate. Integrează atât rețelele structurate, cât și cele nestructurate într-un mod eficient. Părțile regulate geometric pot avea grile structurate, iar cele complicate pot avea grile nestructurate. Aceste grile pot fi neconforme, ceea ce înseamnă că liniile grilei nu trebuie să se potrivească cu limitele blocurilor de celule.

Calitatea rețelelor O rețea este considerată a avea o calitate mai bună dacă o soluție este calculată mai precis și mai rapid. Precizia și viteza sunt concurente. Reducerea dimensiunii celulelor rețelei (adică creșterea numărul celulelor în domeniul dat) crește întotdeauna precizia, dar crește și puterea de calcul cerută (costul calculului).

Precizia depinde atât de numărul total de elemente, cât și de forma elementelor individuale. Durata fiecărei iterații crește practic liniar odată cu numărul de elemente, iar numărul de iterații necesare depinde de valoarea soluției locale și de gradientul local, depinzând și de forma și dimensiunea elementelor locale.

Precizia soluției O rețea grosieră poate oferi o soluție precisă dacă soluția este o constantă, astfel încât precizia depinde de particularitățile problemei. Rețeaua se poate rafina selectiv în zonele în care gradienții soluției sunt mari, crescând astfel fidelitatea acolo. Precizia, inclusiv valorile interpolate într-un element, depinde de tipul și forma elementului.

Viteza de convergență Fiecare iterație reduce eroarea dintre soluția calculată și cea reală. O viteză de mai mare duce la obținerea unei soluții cu precizia cerută în mai puține iterații (mărimea reziduului, prin care se apreciază precizia soluției, este uzual chiar criteriul de oprire al calculului).

O rețea de calitate slabă poate omite caracteristici importante, cum ar fi efectul stratului limită în mecanica fluidelor. Eroarea de discretizare va fi mare, iar viteza de convergență va fi afectată; soluția s-ar putea să nu conveargă deloc.

Independența față de rețea O soluție este considerată independentă de rețea dacă discretizarea și eroarea soluției sunt suficient de mici, fiind făcute suficiente iterații. Acest lucru este esențial de știut pentru rezultate comparative. Un studiu de convergență a rețelei constă în rafinarea elementelor și compararea soluției date de rețeaua rafinată cu soluția dată de rețeaua grosieră. Dacă rafinarea ulterioară (sau alte modificări) nu modifică semnificativ soluția, aceasta este „independentă de rețea”.

Criterii de calitate a rețelelor Dacă precizia este obiectivul cel mai important, atunci rețeaua hexaedrică este preferabilă. Densitatea rețelei trebuie să fie suficient de mare pentru a capta toate caracteristicile fenomenului modelat, dar, în același timp, nu ar trebui să fie atât de mare încât să capteze detalii inutile, supraîncărcând astfel procesorul și pierzând timpul. Ori de câte ori este prezent un perete, rețeaua adiacentă peretelui este suficient de fină pentru a rezolva fenomenele din stratul limită și, în general, celulele pătrate, hexaedrice și prismatice sunt preferate celor triunghiulare, tetraedrelor și piramidelor. Celulele pătrate și hexaedrice pot fi alungite în direcția gradientului mic. Pe baza distorsiunii, netezimii și factorului de formă, se poate decide dacă rețeaua este potrivită.

Distorsiuni thumb|Distorsionare comparativ cu figuri echilaterale thumb|Distorsiunea unui patrulater thumb|Variație netedă, respectiv mare a dimensiunilor Distorsionarea unei grile este un indicator potrivit al calității și adecvării rețelei. O distorsionare mare compromite precizia regiunilor interpolate. Există trei metode de determinare a distorsionării unei grile.

Comparativ cu formele echilaterale Această metodă este aplicabilă numai triunghiurilor și tetraedrelor și este metoda implicită.

Comparativ cu abaterea față de unghiurile normalizate Această metodă se aplică tuturor formelor de celule și fețe și este aproape întotdeauna utilizată la prisme și piramide.

Distorsiune echiunghiulară O altă măsură comună a calității se bazează pe distorsiunea față de forma echiunghiulară.

unde: este cel mai mare unghi al unei fețe a celulei, este cel mai mic unghi al unei fețe a celulei, este unghiul pentru o față sau o celulă echiunghiulară, adică 60° pentru un triunghi și 90° pentru un dreptunghi.

O distorsiune 0 este cea mai bună valoare posibilă, iar o distorsiune 1 nu este aproape niciodată preferată. Pentru celulele hexaedrice și pătrate, distorsiune nu ar trebui să depășească 0,85 pentru a obține o soluție suficient de precisă.

Netezime Schimbarea dimensiunii ar trebui să fie, de asemenea, lină. Nu ar trebui să existe salturi bruște în dimensiunile celulelor, deoarece acest lucru poate duce la rezultate eronate la nodurile din apropiere.

Factor de formă thumb|Diferiți factori de formă: 1, respectiv mult mai mare Factorul de formă este raportul dintre cea mai lungă latură și cea mai scurtă latură dintr-o celulă. Ideal, acesta ar trebui să fie egal cu 1 pentru a da cele mai bune rezultate. Pentru probleme multidimensionale, ar trebui să fie aproape de 1. De asemenea, variațiile locale ale dimensiunii celulelor ar trebui să fie minime, adică dimensiunile celulelor adiacente nu ar trebui să varieze cu mai mult de 20 %. Un factor de formă mare poate duce la o eroare de interpolare inacceptabilă.

Îmbunătățirea rețelelor

În bidimensional, redivizarea și netezirea sunt instrumente puternice pentru transformarea unei rețele slabe într-o rețea bună. Redivizarea constă în combinarea a două triunghiuri pentru a forma un patrulater, apoi divizarea patrulaterului după cealaltă diagonală, pentru a obține două triunghiuri noi. Redivizarea este utilizată pentru a îmbunătăți calitatea unui triunghi, cum ar fi distorsiunea. Netezirea rețelei îmbunătățește formele elementelor și calitatea generală a rețelei prin ajustarea poziției nodurilor rețelei. În netezirea rețelei, caracteristicile de bază, cum ar fi modelul diferit de zero al , sunt păstrate, deoarece topologia rețelei nu se schimbă. Cea mai utilizată tehnică de netezire este .

Note

Vezi și Generarea rețelelor de discretizare Grilă regulată Rețea nestructurată

Legături externe

Categorie:Generarea rețelelor