thumb|right|300px|Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea. În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat complet, adică în care orice șir Cauchy este convergent.
Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892-1945).
Definiție În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.
Noțiunea de completitudine este bazată pe cea de șir Cauchy: un șir de elemente dintr-un spațiu liniar normat se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi există un indice astfel încât implică
Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy, dar reciproc nu este adevărat în general. Spațiile Banach sunt spațiile în care este cazul.
Exemple de spații Banach Prin echivalența normelor în dimensiune finită, oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.
Un alt exemplu important de spațiu Banach este spațiul al șirurilor -absolut sumabile, cu .
Mai general, spațiul al funcțiilor -integrabile este Banach dacă .
Proprietăți
Serii în spații Banach
O proprietate utilă a seriilor numerice este că orice serie absolut convergentă este convergentă. Deoarece această proprietate se generalizează la spații Banach, aceștia oferă un cadru natural pentru studiul seriilor generale.
Serii convergente și absolut convergente
Fie un spațiu liniar normat, un șir de elemente din și, pentru orice Dacă există atunci seria se numește serie convergentă. Dacă seria numerică este convergentă, atunci seria se numește absolut convergentă.
Convergența absolută implică convergența
Vezi și Spațiu vectorial normat Spațiu complet Spațiu Lp
Legături externe
Categorie:Algebră liniară Categorie:Analiză funcțională