thumb|right|300px|Distribuția Cauchy pentru diferite valori ale lui și .
Legea de distribuție Cauchy sau distribuția Cauchy–Lorentz (numită după Augustin Louis Cauchy și Hendrik Lorentz) este o distribuție continuă de probabilitate. În fizică mai este cunoscută drept distribuția Lorentz, funcția Lorentziană sau distribuția Breit–Wigner.
Distribuția Cauchy reprezintă distribuția punctului de intersecție cu axa Ox al unei raze emise din punctul cu un unghi distribuit uniform. De asemenea, este distribuția raportului a două variabile aleatoare independente cu distribuție normală de medie zero.
Distribuția Cauchy este folosită frecvent în statistică drept exemplu clasic de distribuție „patologică”, deoarece atât valoarea așteptată, cât și varianța sunt nedefinite. Distribuția nu are momente finite de ordin mai mare sau egal cu 1 și nu posedă funcție generatoare de momente.
În matematică, distribuția este strâns legată de nucleul Poisson, soluție fundamentală a ecuației lui Laplace în semiplanul superior.
Este una dintre puținele distribuții stabile a căror funcție de densitate poate fi exprimată analitic.
Definiție
Funcția de densitate
Distribuția Cauchy are funcția de densitate:
unde:
este parametrul de poziție; este parametrul de scară.
Valoarea maximă a densității este:
și este atinsă în .
Cazul particular și poartă numele de distribuție Cauchy standard și are densitatea:
Funcția de repartiție
Funcția de repartiție este:
Funcția cuantilei este:
Pentru distribuția standard:
Simetrie rotațională
Dacă o dreaptă este trasată prin punctul sub un unghi ales uniform aleator, punctul de intersecție cu axa Ox urmează o distribuție Cauchy cu parametrii și .
Această proprietate permite generarea unei variabile Cauchy standard. Dacă este uniform distribuit pe intervalul , atunci:
urmează o distribuție Cauchy standard.
Dacă și sunt variabile aleatoare independente cu distribuție normală standard, atunci raportul:
urmează distribuția Cauchy standard.
Proprietăți
Distribuția Cauchy nu are medie, varianță sau momente superioare definite.
Totuși:
modul este ; mediana este ; este o distribuție infinit divizibilă; este o distribuție stabilă strictă.
Suma variabilelor Cauchy
Dacă sunt variabile independente cu distribuție Cauchy standard, atunci media lor:
are tot distribuție Cauchy standard.
Prin urmare, distribuția Cauchy nu respectă legea numerelor mari.
Mai general, dacă variabilele sunt independente și:
atunci:
are distribuție Cauchy cu parametrii:
Funcția caracteristică
Funcția caracteristică este:
Aceasta reprezintă transformata Fourier a funcției de densitate.
Momente
Distribuția Cauchy este un contraexemplu clasic în teoria probabilităților deoarece momentele sale nu sunt bine definite.
Media
Media ar exista dacă integrala:
ar converge.
În cazul distribuției Cauchy, cele două integrale improprii diverg și au semne opuse, deci media este nedefinită.
Momente superioare
Distribuția Cauchy nu are momente finite de ordin pozitiv. De exemplu:
iar momentele impare sunt nedefinite.
Relații cu alte distribuții
distribuția Cauchy standard este distribuția Student cu un grad de libertate; raportul a două variabile normale standard independente are distribuție Cauchy; distribuția Cauchy este o distribuție stabilă; distribuția Cauchy circulară se obține prin „înfășurarea” distribuției pe cerc.
Aplicații
Distribuția Cauchy apare în:
spectroscopie, pentru descrierea liniilor spectrale; fizica nucleară și fizica particulelor; modelarea fenomenelor de rezonanță; hidrologie; finanțe matematice, pentru modelarea distribuțiilor cu cozi groase.
Istorie
O funcție de forma densității Cauchy a fost studiată de Pierre de Fermat în 1659 și mai târziu de Maria Gaetana Agnesi.
Prima analiză explicită a proprietăților distribuției a fost publicată de Siméon Denis Poisson în 1824. Asocierea cu numele lui Cauchy a apărut ulterior, în urma controverselor privind convergența mediilor statistice.
Vezi și
probabilitate teoria probabilităților statistică entropie grad de libertate principiul incertitudinii distribuție stabilă
Bibliografie
Iacob, C. – Curs de matematici superioare, București, 1957
Rogai, E. – Tabele și formule matematice, București, Editura Tehnică, 1984
Legături externe
Distribuția Cauchy la MathWorld
Categorie:Matematică Categorie:Distribuții continue Categorie:Distribuții stabile Categorie:Statistică Categorie:Augustin Louis Cauchy