Teorema lui Cantor este o teoremă matematică privind teoria mulțimilor.
Enunț Fie A o mulțime nevidă și mulțimea submulțimilor acesteia. Atunci cardinalul lui A este strict mai mic decât cardinalul lui
Demonstrație Fie funcția oarecare care pune în corespondență o mulțime A cu mulțimea submulțimilor P(A) a acestei mulțimi A:
f: A →
Demonstrarea acestei teoreme este echivalentă cu a demonstra enunțul: f nu poate fi surjectivă. Pentru aceasta e suficient a determina o submulțime a lui A care să nu fie imaginea lui f.
Considerăm mulțimea
Pentru a arăta că B nu este imaginea lui f, să presupunem prin absurd că B este imaginea lui f. Atunci pentru un
avem . Avem cazurile:
atunci deci
atunci deci
În ambele cazuri se obține o contradicție. Aceasta dovedește că B nu este imaginea lui f, deci f nu este surjectivă.
Deci mulțimile A și
nu sunt echipotente.
Bibliografie Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0387900926 Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0486638294
Vezi și Mulțime Cardinal (matematică)
Legături externe Teorema lui Cantor la MathWorld
Categorie:Teoria mulțimilor