thumb|right|200px|Graficele funcțiilor , în roșu , în albastru. S-a luat Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.
Enunț
Dacă , cu și , atunci:
.
Demonstrație
Cazul
Se aplică metoda inducției complete infinite din aproape în aproape, metodă numită inducție matematică.
Pentru , inegalitatea este echivalentă , ceea ce este evident. Acesta este cazul de pornire al metodei inducției infinite.
Presupunând că inegalitatea se verifică pentru se demonstrează valabilitatea implicației și pentru . Acesta este pasul inductiv al metodei.
Din rezultă
și aceasta deoarece .
.
Cum însă
( deoarece )
rezultă
așadar, propoziția este valabilă și pentru
Cazul
În acest caz, se va face apel la noțiunea de serie binomială care se poate aplica pentru exponenți fracționari.
Generalizare
Aplicații
Bibliografie Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957 Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
Vezi și
Legături externe Inegalitatea la MathWorld Inegalitatea la PlanetMath.org
Bernoulli Categorie:Analiză matematică