În geometria plană, teorema cosinusului, cunoscută și sub numele de teorema lui Pitagora generalizată stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui triunghi în funcție de celelalte două laturi ale sale și cosinusul unghiului dintre ele. Se găsește demonstrată și în Elementele lui Euclid (Propozițiile a 12-a și a 13-a din cartea a 2-a) într-o variantă de enunț care nu conține funcția trigonometrică cosinus, dar era cunoscută în formulare geometrică și de Hipocrate din ChiosMihăileanu, p. 29, 87, vol. I.
Prin intermediul acestei teoreme se pot demonstra alte teoreme cum ar fi teorema lui Stewart, teorema paralelogramului, etc.
Enunț Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.
În triunghi se face o construcție auxiliară trasând înălțimea din vârful unghiului avut în vedere.
sau:
unde AB=c, AC=b și BC=a sunt laturile triunghiului ABC.
Enunțul cunoscut de Hipocrate din Chios pentru un triunghi oarecare ABC cu D piciorul perpendicularei din vârful A pe latura BC este:
Demonstrații Euclid Euclid utiliza în demonstrație Teorema lui Pitagora atât în cazul unghiului obtuz cât și în cel al unghiului ascuțit dintre două laturi ale unui triunghi pentru aflarea lungimii laturii a treia.
Cazul unghiului obtuz
În scopul aflării lungimii laturii opuse unghiului obtuz, se duce segmentul CH perpendicular pe prelungirea unei laturi a unghiului obtuz, formându-se triunghiurile ( și ). Notând lungimea segmentului și înălțimea , teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic dă
și triunghiul dă o egalitate care conține una din laturile alăturate unghiului obtuz ca ipotenuză
Dezvoltarea primei egalități dă
Substituind a doua egalitate se obține:
sau cu notații ale segmentelor prin capete:
Aceasta e Propoziția 12 din cartea a 2-a din Elemente referitoare la cazul unghiului obtuz.Java applet version de Prof. D E Joyce of Clark University.
Pentru transformare în forma actuală, a se vedea cosinusul pentru unghiuri suplementare:
obținându-se
Cazul unghiului ascuțit Cazul unghiului ascuțit este prezentat similar în Propoziția a 13-a din cartea a 2-a, tot pe baza teoremei lui Pitagora. Aceasta se aplică în cele două triunghiuri dreptunghice ABH și AHC formate de înălțimea din punctul A pe baza BC care este astfel divizată în două segmente BH și HC a căror lungime însumată egalează lungimea lui BC, în acest scop considerându-se un triunghi dreptunghic arbitrar ales spre a include latura necunoscută, oricare din ele putând fi ales.
Se substituie pătratul înălțimii între cele două egalități date de teorema lui Pitagora și se ține cont și suma segmentelor determinate de înălțime pe latura opusă unghiului de unde pornește înălțimea.
În triunghiul ABH corespunzător laturii alese ca necunoscută are loc egalitatea
În triunghiul AHC conținând unghiul opus laturii de aflat are loc egalitatea
De aici se exprimă pătratul lungimii înălțimii AH
care se înlocuiește în egalitatea din triunghiul ABH unde se substituie și lungimea segmentului BH ca diferență din lungimea laturii BC
Se obține
Se dezvoltă pătratul diferenței obținându-se
în care se reduce pătratul lungimii segmentului HC și se obține egalitatea dorită
Mai departe se poate exprima trigonometric lungimea segmentului HC:
.
Pe baza proprietăților cercului Proprietățile cercului permit o demonstrație mai geometrică decât cea a lui Euclid.
Cazul unghiului ascuțit , unde
Perpendiculara din pe = , creează un segment de lungime . Prin duplicarea triunghiului dreptunghic se formează un triunghi isoscel . Construiește cercul cu centru și rază , și tangenta sa prin . Tangenta formează un unghi drept cu raza (Elementele: Cartea a 3-a, Propoziția 18), astfel triunghiul galben e dreptunghic. Prin teorema lui Pitagora:
Prin teorema tangentei secante (Elementele: Cartea a 3-a, Propoziția 36) care spune că pătratul pe tangenta printr-un punct exterior cercului e produsul celor două segmente (din ) create de orice secantă la cerc prin în cazul prezent: sau
Substituind in egalitatea anterioară rezultă
A se nota că e puterea punctului în raport cu cercul. Folosirea teoremei lui Pitagora și a tangent-secantei poate fi înlocuită de o singură aplicare a teoremei puterii punctului.
Cazul unghiului ascuțit , unde .
Perpendiculara din pe = , creează un segment de lungime . Prin duplicarea triunghiului dreptunghic se formează un triunghi isoscel . Construind cercul cu centru și rază și o coardă prin perpendiculară la jumătatea căreia e prin teorema lui Pitagora se obține:
Se utilizează apoi teorema coardelor (Elementele: Cartea a 3-a, Propoziția 35) despre produsul lungimilor segmentelor de pe o coardă intersectantă egal cu produsul celorlalte două segmente de pe cealaltă coardă:
În cazul acesta: sau
Substituind în egalitatea anterioară dă:
În acest caz puterea punctului în raport cu cercul are valoarea negativă .
'Cazul unghiului obtuz
În acest caz se utilizează puterea punctului direct, fără a apela la triunghiuri auxiliare bazate pe construcția vreunei tangente sau vreunei coarde.
Pentru un cerc cu centrul și raza (figura alăturată), care intersectează secanta prin și in și . Puterea punctului în raport cu cercul este egală și cu și cu . Așadar,
Prin utilizarea unor valori algebrice pentru lungimea segmentelor (incluzând numere negative pentru lungimi de segmente) se pot trata simultan cazurile unghiului ascuțit și al celui obtuz.
Prin teorema lui Pitagora și funcții trigonometrice Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii , la fel ca în figura de la secțiunea Enunț.Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques, Édition Didier, 1980, ch 11-2, p 265. Fără a restrânge generalitatea, se construiește înălțimea corespunzătoare laturii . Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice.
În triunghiul având ca ipotenuză latura , se aplică teorema lui Pitagora, apoi se folosește identitatea trigonometrică:
Note
Bibliografie Nicolae N. Mihăileanu, Istoria matematicii'', vol. 1, Editura Științifică și enciclopedică, București, 1974
Categorie:Trigonometrie Cosinus