Legile de deplasare ale lui Wien descriu în mod exact felul în care radiația termică evoluează la schimbarea temperaturii. Ele sunt consecințe ale principiului al doilea al termodinamicii și ale ecuațiilor lui Maxwell. După legile radiației ale lui Kirchhoff, în descrierea radiației termice un rol esențial este jucat de o funcție de două variabile I(λ,T) - numită intensitate a radiației corpului negru, λ este lungimea de undă, iar T este temperatura absolută. După WienW.Wien, op.cit.(1894) funcția I(λ,T) are o dependență cu totul specială de lungimea de undă și de temperatură:
unde f este o funcție de o singură variabilă. Prin "legile lui Wien" (1893) se înțeleg câteva consecințe speciale ale ecuației (W).
Formula (W) a lui Wien(1893) a constituit prima treaptă în descrierea completă a funcției I(λ,T), realizată în 1901Max Planck (1901) op.cit. de către Max Planck prin introducerea ipotezei cuantice.
Legile lui Wien right|thumb|Fig.1:Funcţia u(λ,T) pentru diferite temperaturi Spre sfârșitul secolului al XIX-lea, forma funcției I(λ,T) devenise cunoscută la temperaturi între 600 si 1500 K și pentru lungimi de undă de la 0,5 μm (vizibil)1 μm = 1 micron (1 m) pâna la c. 10 μm (infraroșu)H.Kangro (1970),op.cit. și se știa că ea are un (singur) maximum la o lungime de undă care se micșorează cu temperatura (vezi Fig.1). Folosind forma (W) a functiei I(λ,T) se poate preciza aceasta variație: anulând derivata față de λ și notând cu x0 rădăcina ecuației xf' (x) = 5 f(x) se obține:
Poziția maximului este invers proporțională cu temperatura absolută. Intensitatea maximă se obține substituind (I) in (W):
unde CL este o constantă.
Relațiile (I) și (II) sunt cunoscuteS.Țițeica, op.cit. cap.10 sub numele de legile de deplasare ale lui Wien. În loc de lungimea de undă, I poate fi considerată ca o funcție de frecvența ν ≡ c/λc = viteza luminii = 3×108 m/s și formula legile lui Wien corespunzătoareMax Planck,op.cit.(1906); deoarece I(ν,T) reprezintă energia emisă pe unitatea de frecvență, are loc relația:
Maximul lui I(ν,T) este atins la o frecvență care nu corespunde lui λ(max), dar care crește liniar cu T, iar valoarea maximului crește proporțional cu T3.
Din forma (W) a lui I(λ,T) se obține direct legea Stefan-Boltzmann (vezi și articolul despre entropie) referitoare la dependența de temperatură a emisiei integrale a corpului negru:
Reamintind vezi ecuația (5) din articolul Legile lui Kirchhoff (radiație) că densitatea de energie pe lungimea de undă u(λ,T) este:
se vede că densitatea de energie totală are aceeași dependență de temperatură. Această lege a fost descoperită experimental în 1879 de Josef Stefan și demonstrată în 1884 de Ludwig Boltzmann folosind considerente termodinamice. Aplicația termodinamicii la radiația pură a fost la aceea o noutate; W. Wien a extins considerabil aceste argumente.
Formula (W) conține mai multă informație decât cele două legi de mai sus: dacă se cunoaște curba I(λ,T0) pentru o temperatură T0, se poate calcula pentru orice altă temperatură:
Evident, I(λ,T) este determinată și dacă este cunoscută pentru toate temperaturile la o lungime de undă dată.
Aplicații Constantele legilor Valorile constantelor din formulele de mai sus au putut fi determinate la sfârșitul secolului XIX din grafice similare cu Fig.1. Aceste constante erau fascinante M.Thiesen, op.cit.,,Max Planck, op.cit. (1901) prezintă prima determinare a constantelor h și k (vezi mai jos), cu valori apropiate de cele prezente pentru că sunt absolute: ele nu depind de nici un material ci sunt în virtutea legilor lui Kirchhoff constante universale ale interacției materiei cu radiația electromagnetică. Ele pot servi pentru a stabili un sistem de unități absolut în fizică, independent de etaloanele arbitrare (metru, secundă, gram) folosite curent. Valorile lor prezenteValori cu extremă precizie se pot obține de la legătura externă "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006" (PDF). Committee on Data for Science and Technology (CODATA). NIST sunt: x0 = 2900 μK, așa că
Constanta CL din formula (II) este : CL =4,082</sup> W/cm3K5 iar în formula (III) a lui Stefan-Boltzmann CS = 1,80 W/cm2K4.
Dacă se admite că Soarele emite ca un corp negru, se poate estima temperatura luiprima determinare a temperaturii soarelui e datorită lui Josef Stefan cu ajutorul legii (III) folosind faptul că maximul emisiei este în regiunea galbenă a spectrului (λ = 0,55 μm): T = 5280 K ceea ce corespunde la o energie emisă de un cm2 de suprafață (în toate direcțiile) de 4360 W adică c. 5,8 CP. Un alt mod de a estima temperatura Soarelui este determinarea puterii totale care cade pe un m2 de suprafață aflată în planul perpendicular pe direcția soarelui. Această constantă solară, măsurată în afara atmosferei, este de 1380 W/m2 (cam cât puterea unui aspirator). Folosind formula (10) din articolul despre legile lui Kirchhoff, legea lui Stefan-Boltzmann din ecuația (III) de mai sus, distanța la soareP.Moore,G.Hunt,op.cit.,p.19 149,6 km și raza Soarelui 6,963 km rezultă T = 5780 K. Diferența față de prima valoare e datorită faptului că dependența de lungime de undă a emisivității Soarelui, deși apropiată, nu coincide cu aceea a corpului negru.
Constrângeri teoretice Orice propunere teoretică pentru funcția I(λ,T) trebuie să îndeplinească condițiile date de formula lui Wien (W). O expresie cunoscută, care reproduce pe I(λ,T) pentru lungimi de undă mari este aceea a lui Rayleigh și Jeans:
Aici k este constanta Boltzmann. Se vede că formula (RJ) satisface condiția (W) a lui Wien. La T fixat, ea crește indefinit când λ se micșorează și nu poate reproduce forma din Fig.1 ("catastrofa ultravioletă").
Wien a propus în 1896 o formulă care reprezenta foarte bine datele experimentale din vremea aceea:
unde C1, C2 sunt constante. Formula satisface evident constrângerile legii (W); se vede că la lungimi de undă mari, ea este în dezacord cu formula (RJ) a lui Rayleigh-Jeans.
Max Planck a oferit în 1900 și o justificare a formulei (W1); descoperirea din acel an făcută de O. Lummer și E. PringsheimO. Lummer, E. Pringsheim (1900), op.cit. și de H. Rubens și F. KurlbaumH.Rubens,F.Kurlbaum (1901),op.cit. că formula (W1) nu reprezinta bine regiunea lungimilor de undă mari din infraroșul depărtat (care devenea încetul cu încetul accesibilă măsurătorilor) a dat însă lui Max Planck prilejul să-și reconsidere argumentele și să concludă că cuantificarea energiei emițătorilor este singurul mod de a rezolva dificultățile. Formula propusă de Planck este:
unde h este constanta Planck, iar k este constanta Boltzmann.
Deducerea formulei lui Wien Aplicația principiului al doilea al termodinamicii
Instabilitatea radiației Radiația termică este caracterizată de funcția I(λ,T) atunci când se găsește în echilibru cu un corp oarecare, care nu este complet reflectător, aflat la temperatura T. Temperatura care apare în funcția I(λ,T) este temperatura acestui corp; nu are (încă) sens sa vorbim despre "temperatura radiației" în condiții generale. De exemplu, într-o încăpere cu pereți complet reflectători se poate găsi radiație cu o compoziție energetică după lungimile de undă complet arbitrară (foarte diferită de aceea a corpului negru): starea de echilibru poate persista indefinit; temperatura globală a radiației nu e definită. Dacă introducem în încăpere un corp C dintr-un material cu absorbtivitate nenulă, compoziția radiației se schimbă în mod ireversibil - corpul C absoarbe și emite radiație până când distribuția după lungimi de undă a radiației din încăpere devine aceea a corpului negru. Corpul C poate fi oricât de mic, ca și capacitatea lui termică. Lucrul mecanic cheltuit pentru a-l introduce și a-l scoate din încăpere poate fi de asemenea făcut oricât de mic. Temperatura finală a radiației (și a corpului C) se obține din energia ei inițiala totală și din legea Stefan-Boltzmann (III). În rezumat, introducerea unui corp mic într-o incintă reflectătoare conținând radiație poate să o modifice în mod radical; din contra, îndepărtarea lui după stabilirea echilibrului se poate face cu efecte neglijabile.
Comprimarea adiabatică a radiației Fie o astfel de încăpere cu un piston (tot complet reflectător) unde se comprimă radiația adiabatic și indefinit de lent, de la volumul inițial V0 și temperatura T0 la un volum V1, păstrând corpul mic absorbant în interior; în acest proces, entropia totală a radiației este constantă (vezi articolul despre entropie):
Când se atinge volumul V1 și după ecuația (5) temperatura T1, se îndepărtează corpul din încăpere, iar apoi se destinde volumul indefinit de lent până la volumul inițial V0. Deși corpul absorbant nu mai e prezent, este acceptat că distribuția finală a energiei după lungimile de undă este identică cu cea în prezența lui (adică cu cea inițială). Pentru aceasta, se evaluează lucrul mecanic efectuat la comprimare și destindere: în timpul procesului de comprimare, radiația rămâne izotropă și deci presiunea asupra pistonului este p = u/3 vezi articolul asupra legilor lui Kirchhoff,ecuația (8); cantitatea de energie necesară pentru schimbarea temperaturii corpului absorbant poate fi făcută oricât de mică. La destindere, dacă radiația rămâne izotropă (vezi mai jos), cu același argument din articolul citat, presiunea este tot u/3. Deci se poate scrie pentru variația energiei interne atât la destindere cât și la compresie:
deoarece nu există schimb de căldură cu exteriorul. Prin integrare, din ecuația (6) rezultă că mărimea UV1/3 este conservată în aceste procese. Se deduce că energia radiației în starea inițiala este aceeași cu cea în starea finală. Rămâne însă posibilitatea să fie altfel distribuită pe lungimile de undă. Dacă aceasta se întâmplă, atunci se poate introduce în încăpere un corp mic absorbant ținut la temperatura T0, iar acesta, printr-un proces ireversibil, absorbind preferențial unele lungimi de undă și emițând altele, va restabili distribuția de radiație a corpului negru. Aceasta însă se poate face numai cu prețul apariției unui impuls nenul în câmp, pentru anumite lungimi de undă. Cu ajutorul unei probe mici absorbante, se poate transforma acest impuls în lucru mecanic: energia necesară este luată de la rezervorul de temperatură T0. Acest ciclu se poate repeta indefinit. Cu aceasta însă s-a încălcat principiul al doilea al termodinamicii: căldura de la un singur rezervor este transformată în mod ciclic în lucru mecanic. Rezultă că introducerea corpului mic negru nu a produs nici o modificare în distribuția radiației, și deci că aceasta își păstrase în compresie caracterul "negru" de echilibru. Deoarece temperaturile inițială și finală au fost alese arbitrar, rezultă că stările radiației "negre" obținute prin transformări adiabatice pot fi descrise și în absența unui corp negru, numai cu ajutorul ecuațiilor lui Maxwell fără cuplaj cu materia și cu condiții la limită corespunzând pereților total reflectători. Aceasta este o mare simplificare.
Mai mult, chiar dacă nu există corpul negru în incintă (dar a fost la momentul inițial) se poate încă vorbi cu sens de "temperatura radiației" în cursul transformării adiabatice, folosind formula (5).
Radiația într-o incintă cubică complet reflectătoare Ecuatiile lui Maxwell pot fi rezolvate simplu într-o incintă cubică cu latura L și pereți complet reflectători.Faptul că ne mărginim la o încăpere cubică nu reprezintă o restrângere a generalității; funcția I(λ,T) nu depinde de forma cavității (vezi Legile lui Kirchhoff (radiație). Câmpurile electric și magnetic trebuie determinate prin condițiile ca pe frontiera incintei cubice, componenta tangențială a câmpului electric si cea normală a câmpului magnetic să fie nule. Esența calculelorCalculul complet poate fi găsit în ultimul capitol al cărții lui Max Planck, ediția nouă poate fi obținută din problema analoagă privind o singură funcție φ(x,y,z,t) care satisface ecuația undelor: