alt=Graph showing a logarithm curves, which crosses the x-axis where x is 1 and extend towards minus infinity along the y-axis.|dreapta|miniatura|Graficul funcției logaritm în bază 2 traversează abscisa (axa orizontală) în 1 și trece prin punctele de coordonate , , . De exemplu, , deoarece Graficul se apropie arbitrar de mult de ordonată, dar nu o atinge și nu se intersectează cu ea. În matematică, logaritmul este operația inversă a ridicării la putere. Aceasta înseamnă că logaritmul unui număr este exponentul la care un alt număr fix, , trebuie să fie ridicat pentru a produce acel număr. În cazul cel mai simplu al exponentului număr natural, logaritmul exprimă numărul de factori din înmulțirile repetate. De exemplu, logaritmul în bază din este , pentru că la puterea este (); înmulțirea se repetă de trei ori. Acesta este un exemplu de logaritmi cu valori numerice discrete. Trecerea la un exponent fracționar face ca valorile logaritmilor din numere fixe, fără parte zecimală infinită, să fie continue, în numere reale. Exponentul fracționar fiind asociat unui radical de ordin oarecare dintr-un număr logaritmul permite determinarea valorilor radicalilor de orice ordin.
Mai general, exponențierea permite ridicarea oricărui număr real pozitiv la orice putere reală, producând întotdeauna un rezultat pozitiv, deci logaritmul poate fi calculat pentru orice două numere reale pozitive și unde este diferit de . Logaritmul lui în baza , notat cu , este numărul real unic cu proprietatea că . De exemplu, întrucât , atunci:
Logaritmul în bază (unde ) se numește logaritm zecimal și are multe aplicații în știință și inginerie. Logaritmul natural are drept bază numărul e (); utilizarea sa este larg răspândită în matematică și fizică, pentru că derivata sa e mai simplă. folosește baza (adică ) și este frecvent utilizat în informatică.
Logaritmii au fost introduși de către John Napier în secolul al XVII-lea ca mijloc de simplificare a calculelor. Ei au fost rapid adoptați de către navigatori, oameni de știință, ingineri, și alții pentru a efectua calcule mai ușor, folosind rigle și tabele de logaritmi. Calculele greoaie cu multe cifre puteau fi înlocuite cu căutări în tabele și simple adunări, datorită faptului — important în sine — că logaritmul unui este suma logaritmilor factorilor:
cu condiția ca , și să fie toate pozitive și . Noțiunea actuală de logaritm provine de la Leonhard Euler, care a legat-o de funcția exponențială în secolul al XVIII-lea.
Scara logaritmică restrânge variația unor mărimi cu interval larg de valori. De exemplu, decibelul este o unitate care cuantifică logaritmul unor rapoarte de energie și de amplitudine a unui semnal (de exemplu, ). În chimie, pH-ul este o măsură logaritmică a acidității unei soluții apoase. Logaritmii sunt frecvenți în formulele științifice și în măsurătorile complexității algoritmilor și ale obiectelor geometrice numite fractali. Ele descriu intervale muzicale, apar în formulele de numărare a numerelor prime, oferă informația de bază unor modele din psihofizică, economie și pot fi de ajutor în contabilitatea legală.
În același mod în care logaritmul inversează ridicarea la putere, este funcția inversă a exponențialei aplicate numerelor complexe, exponențială putând da valori negative pentru exponenți numere complexe, astfel putându-se obține valori pentru logaritmi din numere negative. Logaritmul discret modular este o altă variantă, cu utilizări în criptografia cu chei publice.
Motivația și definiția Ideea logaritmilor este de a inversa funcționarea ridicării la putere. De exemplu, cea de-a treia putere (sau cubul) a lui 2 este 8, pentru că 8 este produsul a trei factori cu valoarea 2:
Rezultă că logaritmul lui 8 în baza 2 este 3, deci log2 8 = 3.
Ridicarea la putere Puterea a treia a unui număr b este produsul a trei factori cu valoarea b. Mai general, ridicarea lui b la puterea a n-a, când n este un număr natural, se face prin înmulțirea a n factori cu valoarea b. Puterea a n-a a lui b este scrisă bn, astfel încât
Ridicarea la putere poate fi extinsă la by, unde b este un număr pozitiv și exponentul y este orice număr real. De exemplu, b-1 este lui b., mai ales secțiunea 2 pentru o tratare elementară Ridicarea lui la puterea 1/2 este rădăcină pătrată a lui .
Mai general, ridicarea lui la o putere cu exponent număr rațional , unde , sunt numere intregi, e dată de
radical de ordinul din .
Generalizarea merge mai departe, orice număr irațional poate fi aproximat cu precizie arbitrară de numere raționale, proprietate care se poate folosi pentru calculul puterii a -a a lui : de exemplu și e tot mai corespunzător aproximat de .
Pentru mai multe detalii, inclusiv formula , a se vedea articolul despre putere.
Definiție Logaritmul unui număr real pozitiv x în baza b, un număr real pozitiv diferit de 1, este exponentul la care b trebuie să fie ridicat pentru a da x. Altfel spus, logaritmul lui în baza este soluția a ecuației, capitolul 1
Logaritmul se notează cu „logb(x)” (citit „logaritm în bază b din x” sau „logaritmul în al lui x”). În ecuația y = logb(x), valoarea y este răspunsul la întrebarea „la ce putere trebuie să fie ridicat b, pentru a obține x?”. Această întrebare poate fi abordată (cu un răspuns mai bogat) și pentru numere complexe, ceea ce se face în secțiunea „Logaritmul complex”, și acest răspuns este mult mai intens investigat în .
Exemple De exemplu, , deoarece 16. Logaritmii pot fi și negativi:
pentru că
Un al treilea exemplu: log10(150) este aproximativ 2.176, care se află între 2 și 3, așa cum 150 se află între și . În cele din urmă, pentru orice bază b, și , deoarece și, respectiv, .
Identități logaritmice Mai multe formule importante, uneori numite identități logaritmice sau legi logaritmice, dau relații între logaritmi.All statements in this section can be found in Shailesh Shirali 2002, section 4, (Douglas Downing 2003, p. 275), or Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1, for example.
Produsul, împărțirea, puterea și rădăcina Logaritmul unui produs este suma logaritmilor factorilor; logaritmul raportului a două numere este diferența logaritmilor. Logaritmul celei de a p-a puteri a unui număr este de p ori logaritmul numărului în sine; logaritmul radicalului de ordinul al este logaritmul numărului împărțit la p. Următorul tabel listează aceste identități cu exemple. Fiecare dintre identități pot fi calculate prin înlocuirea definiției logaritmului sau în partea stângă. Formula Exemple produs împărțire putere radical
Schimbarea bazei Logaritmul logb(x) poate fi calculat din logaritmii lui x și b într-o bază arbitrară k, utilizând următoarea formulă:
Calculatoarele științifice calculează logaritmii pentru în bazele 10 și e.Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. Logaritmi în orice altă bază b pot fi determinați folosind oricare dintre acești doi logaritmi prin formula precedentă:
Dat fiind un număr x și logaritmul său logb(x) într-o bază necunoscută b, bază este dată de relația:
Baze particulare Dintre toate bazele ce pot fi alese, trei sunt deosebit de frecvente. Acestea sunt b = 10, b = e (constantă matematică irațională ≈ 2.71828), și b = 2. În analiza matematică, logaritmul cu baza e este larg răspândit din cauza proprietăților sale analitice speciale explicate mai jos. Pe de altă parte, logaritmii în bază 10 sunt ușor de utilizat pentru calcule manuale în sistemul de numerație zecimal:Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, N.Y.: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 , chapter 17, p. 275
Astfel, log10(x) este legat de numărul de cifre zecimale ale unui număr întreg pozitiv x: numărul de cifre este cel mai mic număr întreg strict mai mare decât log10(x)., p. 20 De exemplu, log10(1430) este de aproximativ 3.15. Următorul număr întreg este 4, adică numărul de cifre al lui 1430. Atât logaritmul natural, cât și logaritmul în bază doi sunt utilizate în teoria informației, corespunzând utilizării naților sau, respectiv, biților ca unități fundamentale pentru informație. Logaritmii binari sunt și ei utilizați în informatică, acolo unde sistemul binar este omniprezent, în teoria muzicii, unde raportul înălțimilor unor sunete egal cu 2 (octava) este omniprezent și centul este logaritmul binar (scalat cu 1200) al raportului între două înălțimi adiacente egal temperate, iar în fotografie măsoară .
Următorul tabel listează notațiile comune pentru logaritmii în aceste baze și domeniile în care acestea sunt utilizate. În multe discipline se scrie log(x) în loc de logb(x), atunci când baza poate fi determinată din context. Mai apare și notația blog(x). Coloana „notație ISO” listează notații propuse de Organizația Internațională pentru Standardizare () pentru diverse baze. Baza bNumele lui logb(x)Notație ISOAlte notațiiUtilizate în2 lb(x) ld(x), log(x), lg(x),Vezi nota 1 din log2(x) informatică, teoria informației, teoria muzicii, fotografieie logaritm natural ln(x) log(x) (în matematică Vezi teorema 3.29 din și multe limbaje de programare) matematică, fizică, chimie, statistică, economie, teoria informației, și unele domenii de inginerie10 logaritm zecimal lg(x) log(x), log10(x) (în inginerie, biologie, astronomie) diverse domenii inginerești (a se vedea decibeli și mai jos), tabele de logaritmi, portabile, spectroscopie
Istoria Istoria logaritmilor în Europa secolului al XVII-lea este descoperirea unei noi funcții, care extindea domeniul de analiză dincolo de domeniul de aplicare a metodelor algebrice. Metoda logaritmilor a fost formulată public de către John Napier în 1614, într-o carte intitulată Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrierea Minunatului Canon al Logaritmilor). Înainte de inventarea lor de către Napier, au existat și alte tehnici similare, cum ar fi prostafareza sau utilizarea de tabele de progresii, dezvoltată pe larg de către Jost Bürgi în jurul anului 1600.
Logaritmul zecimal al unui număr este indicele acelei puteri a lui zece care este egală cu numărul.William Gardner (1742) Tables of Logarithms A vorbi despre un număr ca necesitând atât de multe cifre este o aluzie aproximativă la logaritmul zecimal, și problema a fost menționată de către Arhimede ca „ordinul unui număr”.R.C. Pierce (1977) "A brief history of logarithm", Two-Year College Mathematics Journal 8(1):22–6. Primii logaritmi adevărați erau metode euristice de a transforma înmulțirea în adunare, facilitând astfel calculul mai rapid. Unele dintre aceste metode foloseau tabele calculate din identități trigonometrice.Enrique Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History, §2.4 Hyperbolic logarithms, page 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2 Astfel de metode sunt numite .
Inventarea funcției cunoscute astăzi sub numele de logaritm natural a început ca o încercare de a efectua o cvadratură a unei hiperbole dreptunghiulare de către Gregoire de Saint Vincent, un belgian iezuit ce locuia la Praga. Arhimede scrisese Cvadratura parabolei în secolul al III-lea î.Hr., dar o cvadratură a hiperbolei nu putuse fi realizată până la publicarea de către Saint-Vincent a rezultatelor sale în 1647. Relația pe care o oferă logaritmul între o progresie geometrică primită ca argument și o progresie aritmetică a valorilor lui, l-a determinat pe să facă legătura între cvadratura lui Saint-Vincent și tradiția logaritmilor din , ceea ce duce la termenul de „logaritm hiperbolic”, sinonim pentru logaritmul natural. În curând, noua funcție a fost apreciată de către Christiaan Huygens, Patavii, și James Gregory. Notația Log y a fost adoptată de către Leibniz în 1675,Florian Cajori (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", American Mathematical Monthly 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205. și în anul următor el a legat-o de integrala
Tabele de logaritmi, rigle de calcul și aplicații istorice