Teoremele generale ale mecanicii reprezintă un sistem unitar de teoreme demonstrabile pe baza principiilor mecanicii. Ele particularizează anumite relații funcționale între mărimile fizice dinamice și sunt utile pentru descrierea comportamentului mecanic al sistemelor mecanice. Teoremele generale ale mecanicii sunt legate de noțiunea de integrale prime ale mișcării prin intermediul legilor de conservare ce se pot deduce din acestea. Aceste teoreme se enunță atât pentru punctul material cât și pentru sistemele de puncte materiale sau corpul rigid, având aplicații directe în ramura mecanicii fizice și în mecanica analitică.Iacob, Caius 1, op.cit.

Integrale prime Există în mecanică situații în care se pot obține informații cu privire la evoluția dinamică a sistemului fără integrarea completă a ecuațiilor diferențiale ale mișcării. Pentru aceasta, trebuie în mod necesar, să existe cel puțin o relație între timp, coordonatele de poziție și coordonatele vitezei. O asemenea relație se numește integrală primă a mișcării.Mercheș, Burlacu, op.cit., cap.2, pag 14

<div style="text-align:center"> Definiție: Ecuația diferențială de ordinul întâi de forma:

unde este timpul, vectorul de poziție, vectorul viteză, o constantă fizică arbitrară, se numește integrală primă a mișcării.

Din forma expresiei de definiție, rezultă că integrala primă este o ecuație în termeni finiți între coordonatele unei particule (punct material), componentele vitezei acesteia, timpul și o constantă arbitrară, oricare ar fi condițiile inițiale care pot fi stabiliți, anterior integrării complete a ecuației mișcării.Iacob, Caius și colectiv, op.cit., pag 234.

Constantele arbitrare care apar în integralele prime se pot determina folosind condițiile inițiale. Cu alte cuvinte, dacă la momentul vectorul de poziție este și viteza , atunci prin înlocuirea acestora în ecuația integralei prime se găsește valoarea constantei :

Un sistem mecanic, aflat într-o stare dinamică determinată, poate admite mai multe integrale prime. Esențial este ca pentru un sistem să se găsească un număr cât mai mare de integrale prime distincte întrucât cunoașterea unei integrale prime reduce cu o unitate numărul necunoscutelor. Prin integrale prime distincte se înțeleg acele integrale prime între care nu există niciun fel de relație de dependență. Un sistem mecanic admite maxim șase integrale prime distincte, aflarea tuturor acestora este echivalentă cu determinarea integralei generale a mișcării sistemului.

Datorită faptului că anumite integrale prime exprimă conservarea unor importante mărimi fizice, cum ar fi impulsul, energia, momentul cinetic, etc., găsirea acestora are o importanță majoră în studiul sistemelor mecanice, ele având legături și cu anumite proprietăți generale ale timpului și spațiului raportate la legile naturii. Relațiile dintre integralele prime cu mărimile amintite sunt date prin teoreme generale ce exprimă variația în spațiu și timp ale mărimilor.Arnold, V.I., op.cit. , cap 2, pag 43.

Teoreme generale ale mecanicii punctului material

Următoarele teoreme generale se referă la mecanica punctului material. Punctul material, de masă , este considerat ca fiind în mișcare într-un sistem de referință inerțial, poziția lui este dată de vectorul de poziție , raportat la un reper cartezian . Funcțiile exprimă dependența de timp a coordonatelor punctului (componentele carteziene ale vectorului de poziție). Din punct de vedere matematic, aceste funcții trebuie să fie de clasă , adică să fie derivabile de două ori cu derivatele continue pe mulțimea numerelor reale.Mercheș, Burlacu, op.cit., cap.2, pag 15. Asupra punctului pot acționa simultan mai multe forțe, rezultanta acestora fiind . Ecuația fundamentală a mișcării , scrisă în baza principiului al doilea al mecanicii, împreună cu condițiile inițiale, determină univoc comportamentul dinamic al punctlui material supus acțiunii forțelor aplicate.

Teorema impulsului

Numită și teorema de variație a impulsului, această teoremă exprimă relația dintre forța ce acționează asupra punctului material și variația în timp a impulsului său. Prin forță se subînțelege rezultanta tuturor forțelor ce acționează concomitent asupra punctului la un moment dat (forțe aplicate).Arnold, V.I., op.cit.Iacob și colectiv., op.cit., pag 465.

Enunț:

În cazul mișcării unui punct material de masă , raportată la un sistem de referință inerțial, derivata de ordinul întâi în raport cu timpul a impulsului punctului material este egală cu rezultanta forțelor aplicate:

unde: este timpul, este vectorul impuls și reprezintă rezultanta forțelor aplicate. Demonstrație: Pornind de la expresia matematică a principiului al doilea al mecanicii rezultanta forțelor aplicate punctului material se poate scrie sub forma:, introducând masa sub opertorul de derivare și folosind definiția impulsului pentru punctul material: , rezultă relațiile:

reciproc, dacă se derivează în raport cu timpul expresia de definiție a impulsului se găsește același rezultat:

O interpretare fizică a teoremei impulsului este aceea că rezultanta forțelor aplicate punctului material este egală cu „viteza de variație în timp” a impulsului său. Dacă derivata din expresia teoremei este pozitivă (impulsul crește), atunci rezultanta forțelor este o forță motoare, adică o forță care produce accelerarea mișcării. În situația în care derivata este negativă (impulsul descrește), atunci rezultanta forțelor este o forță rezistentă, deci o forță ce are ca efect încetinirea mișcării.

O consecință importantă a teoremei impulsului este legea conservării impulsului care se deduce din teoremă pentru cazul în care rezultanta forțelor aplicate este nulă.

Legea conservării impulsului Dacă sistemul mecanic este izolat, adică asupra punctului material nu acționează nicio forță sau rezultanta tuturor forțelor aplicate este egal cu zero, atunci din expresia teoremei impulsului rezultă că derivata impulsului se anulează:

De unde, în mod firesc rezultă egalitatea:

Pe baza acestor considerente se poate enunța legea conservării impulsului punctului material: thumb|200px|right|„Pendulul lui Newton”, un dispozitiv didactic care ilustrează legea conservării impulsului. {| border="2" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"

| bgcolor="#ffff99"|Enunț:

Dacă rezultanta tuturor forțelor aplicate asupra unui punct material este egală cu zero, atunci impulsul se conservă.

Relația reprezintă o integrală primă vectorială a mișcării, echivalentă cu trei integrale prime scalare: . Masa punctului material fiind constantă, rezultă că invarianța impulsului înseamnă, în fapt, constanța vectorului viteză. Această lege este în acord cu principiul întâi al mecanicii care afirmă că în absența acțiunii unei forțe, punctul material își păstrează starea de repaus relativ sau de mișcare rectilinie și uniformă în raport cu un sistem de referință inerțial (principiul inerției). Existența mărimii mecanice impuls și a legii de conservare a impulsului este legată de proprietatea de omogenitate a spațiului fizic. Legea conservării impulsului este una din cele mai importante legi ale fizicii, ea fiind valabilă nu numai pentru mecanica corpurilor macroscopice ci și în cazul interacțiunii particulelor microscopice, adică pentru atomi, nuclee atomice, electroni, etcFriș și Timoreva 1, op.cit., cap.II, pag 77..

Teorema momentului cinetic

Momentul cinetic sau momentul unghiular al unui punct material este o mărime fizică dinamică care se definește ca produsul vectorial dintre vectorul de poziție și vectorul impuls: . Momentul cinetic măsoară „cantitatea de mișcare de rotație” similar impulsului care este o măsură a „cantității de mișcare de translație ”. Variația în timp a momentului cinetic este legată de momentul forței (cauza rotației) prin teorema momentului cinetic, numită și teorema variației momentului cineticIacob și colectiv., op.cit., pag 473.: Enunț:

În cazul mișcării unui punct material de masă , raportată la un sistem de referință inerțial, derivata de ordinul întâi în raport cu timpul a momentului cinetic față de un punct fix este egală cu momentul forței față de același punct:

unde: este timpul, este vectorul moment cinetic și reprezintă momentul forței rezultante față de un punct Demonstrație: Derivând în raport cu timpul expresia de definiție a vectorului moment cinetic și ținând cont că vectorul viteză este coliniar cu vectorul impuls, se poate scrie: invers, pornind de la relația de definiție a momentului forței și folosind o proprietate a derivatei produsului, se ajunge la aceeași relație.

Teorema variației momentului cinetic descrie evoluția dinamică a punctului material aflat în mișcare de rotație în jurul unui punct fix. Similar cu teorema variației impulsului, această teoremă arată că, din punct de vedere fizic, momentul forței ce acționează asupra unui punct material este egală cu „viteza de variațe” a momentului cinetic. Dacă derivata momentului cinetic este pozitivă (momentul cinetic crește în valoare), atunci momentul forței este un moment motor, cu alte cuvinte, are ca efect accelerarea rotației (viteza unghiulară crește și ea). Când derivata momentului cinetic este negativă, momentul forței se numește moment rezistent și își manifestă efectul prin încetinirea rotației(viteza unghiulară descrește).

Există situații când momentul forței are valoarea nulă, ceea ce se poate întâmpla atunci când forța este nulă sau dacă are direcția paralelă cu direcția razei. În acest caz, se poate deduce legea conservării momentului cinetic. Legea conservării momentului cinetic Dacă momentul forței este egal cu zero, atunci din expresia teoremei momentului cinetic rezultă că derivata momentului cinetic se anulează:

Prin urmare:

Pe baza acestor considerente se poate enunța legea conservării momentului cinetic al punctului material: {| border="2" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"

| bgcolor="#ffff99"|Enunț:

Dacă momentul rezultant al forțelor aplicate unui punct material este egal cu zero, atunci momentul cinetic al punctului material se conservă.

Relația reprezintă o integrală primă vectorială a mișcării, echivalentă cu trei integrale prime scalare: . Masa punctului material fiind constantă, rezultă că invarianța momentului cinetic înseamnă, în fapt, constanța vectorului vitezei liniare. Existența mărimii mecanice moment cinetic și a legii de conservare a momentului cinetic ține de proprietatea de izotropie a spațiului fizic.

Teorema ariilor Pentru cazul în care momentul rezultant al forțelor aplicate este permanent perpendicular la o axă fixă care trece prin punctul (originea reperului cartezian), având versorul se poate demonstra un caz particular remarcabil al teoremei care este importantă pentru studiul mișcărilor în câmpuri de forțe centraleMercheș, Burlacu, op.cit., cap.2, pag 15-16.: Enunț:

Dacă în mișcarea unui punct material de masă , raportată la un sistem de referință inerțial, momentul al rezultantei al forțelor aplicate este permanent ortogonal pe axa , atunci mișcarea punctului, în proiecție pe planul , se efectuează cu viteză areolară constantă:

unde este vectorul viteză areolară. Demonstrație: 240px|right|thumb|Vectorul viteză areolară este dat de semiprodusul vectorial al vectorilor poziție inițială și finală .