Общая алгебра (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, модули, решётки, а также отображения между ними.
Примерами алгебраических структур с одной бинарной операцией являются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, полурешётки; с двумя бинарными операциями — кольца, почтикольца, поля, решётки. Более сложными примерами служат модули над кольцами, векторные пространства, алгебры над кольцами, алгебры Ли. Также рассматриваются структуры с операциями более высокой арности, такие как тернарные и полиадические алгебры.
Для изучения этих структур используются общие методы и понятия: отображения между ними описываются с помощью гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов; внутреннее строение изучается через подструктуры (подгруппы, подкольца, подрешётки) и фактоструктуры (факторсистемы факторгруппы, факторкольца, факторрешётки).
Наиболее общие свойства алгебраических структур формализуются и изучаются в универсальной алгебре. Теория категорий, тесно связана с общей алгеброй, и исследует структуры и отношения между ними с помощью таких понятий, как объекты, морфизмы, функторы, обобщая соответствующие конструкции в различных разделах математики.
Разделы общей алгебры Различные авторы включают в состав общей алгебры (высшей алгебры) следующие разделы математики: Гомологическая алгебраКурош А. Г. Лекции по общей алгебре. С.8. Теория групп Теория представлений Теория колец Коммутативная алгебра Теория полей Теория Галуа Теория категорий Теория решёток Универсальная алгебра
Идеи общей алгебры используются во многих областях математики. Особенно активно используют её методы алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и алгебраическая топология.
Примечания
Литература