Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида . Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения в виде , где  — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении к точному значению при приближённое решение стремилось бы к желаемому точному решению уравнения .

Регуляризирующий оператор Оператор , зависящий от параметра , называется регуляризующим для уравнения , если он обладает свойствами: Определён для всякого и любого . Если выполняется , то существует такое , что для любого найдётся такое , что если , то , где , ,  — метрика в пространстве (то есть  — расстояние между векторами и ), а  — метрика в пространстве .

Способ построения регуляризирующих операторов Для широкого класса уравнений А. Н. Тихонов показал, что решение задачи минимизации функционала можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра . Функционал называется стабилизатором задачи .

Пример применения Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение системы линейных уравнений с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы и столбца в случае, когда значения элементов матрицы и столбца свободных членов заданы лишь приближённо.

Постановка задачи Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: . Назовем сферическими нормами величины . Обозначим как известные приближённые значения элементов матрицы и столбца . Матрицу и столбец будем называть -приближением матрицы и столбца , если выполняются неравенства . Введём в рассмотрение функционал . Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений к отысканию того элемента , на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема Тихонова Пусть матрица и столбец удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы ,  — нормальное решение этой системы,  — -приближение матрицы ,  — -приближение столбца , и  — какие-либо убывающие функции , стремящиеся к нулю при и такие, что . Тогда для любого найдётся положительное число такое, что при любом и при любом , удовлетворяющем условию , элемент , доставляющий минимум функционалу , удовлетворяет неравенству .

Примечания

Литература

Метод регуляризации А. Н. Тихонова для решения операторных уравнений первого рода

Категория:Линейная алгебра Категория:Вычислительная математика Категория:Методы решения СЛАУ