А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности .
Пусть — род поверхности — циклы канонического базиса гомологий . В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: .
Абелев дифференциал рода Абелев дифференциал рода — это голоморфные всюду на дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности каждой точки имеют вид , где — локальная униформизирующая переменная в , , а — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от в . Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если
то
Абелев дифференциал рода образуют векторное пространство размерности . После введения скалярного произведения , где — внешнее произведение на звёздно-сопряжённый дифференциал , пространство превращается в гильбертово пространство.
Пусть суть - и -периоды абелева дифференциала рода , то есть интегралы
Тогда имеет место соотношение
Если — периоды другого абелева дифференциала рода , то
Соотношения и называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов рода. Канонический базис абелева дифференциала рода, то есть канонический базис пространства , выбирается таким образом, что
где и при . При этом матрица -периодов
симметрическая, а матрица мнимых частей положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все -периоды или все -периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала рода действенны, то .
Литература
Категория:Дифференциальное исчисление