Эффекти́вная ма́сса — величина, имеющая размерность массы и применяемая для удобного описания движения частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона (9,11×10−31 кг). Эффективная масса электрона в кристалле (электрон проводимости), вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме и может быть как положительной, так и отрицательной.

Понятие эффективной массы Изотропный вариант Если закон дисперсии электронов в конкретном кристаллическом веществе таков (или с приемлемой точностью может считаться таким), что энергия зависит только от модуля волнового вектора , то эффективной массой электрона, по определению, является величина

,

где — постоянная Планка-Дирака.

Иногда в целях радикального упрощения этим приближением ограничиваются, как если бы изотропная ситуация была единственной возможной.

Физический смысл Скорость движения электрона в кристалле равна групповой скорости электронных волн и определяется как

.

Здесь — частота. Дифференцируя по времени, определим ускорение электрона:

.

Сила, действующая на электрон в кристалле, составляет

,

где — импульс. Из двух последних выражений получается

,

откуда и виден смысл величины как некой «массы».

Типичное поведение Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен и, таким образом, эффективная масса является постоянной и равной массе покоя электрона .

В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. Тем не менее, кривая закона дисперсии вблизи своих экстремумов часто неплохо аппроксимируется параболой — и тогда эффективная масса также будет константой, хотя и отличной от . При этом может оказаться и положительной (вблизи дна зоны проводимости), и отрицательной (вблизи потолка валентной зоны).

Далеко от экстремумов эффективная масса, как правило, сильно зависит от энергии (формулировка «зависит от энергии» уместна только для изотропного случая), и тогда оперирование ею перестаёт приносить какие-либо удобства.

Анизотропия массы В общем случае эффективная масса зависит от направления в кристалле и является тензором. Принято говорить о тензоре обратной эффективной массы, его компоненты находятся из закона дисперсииФизический энциклопедический словарь, статья «Эффективная масса» — М.: Советская энциклопедия. под ред. А. М. Прохорова. 1983. : , где — волновой вектор с проекциями , , на оси декартовой системы координат. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется как квазичастица, параметры движения которой зависят от направления относительно кристаллографических осей кристалла. При этом значения зависят не от энергии, а от состояния, задаваемого вектором .

Есть и другие подходы для вычисления эффективной массы электрона в кристаллеПекар С. И. Электроны проводимости в кристаллах // Проблемы теоретической физики. Сборник, посвящённый Николаю Николаевичу Боголюбову в связи с его шестидесятилетием. — М., Наука, 1969. — Тираж 4000 экз. — c. 349—355.

Как и в изотропном приближении, использование тензора обратной эффективной массы в основном ограничено областями вблизи экстремумов функции . Вне этих областей — как, например, в случае анализа поведения популяции горячих электронов — рассматриваются непосредственно зависимости , которые табулируются.

Величина для некоторых полупроводников Характерные значения эффективной массы составляют от долей до единиц , чаще всего около .

В таблице указаны продольная () и поперечная () эффективные массы, а также эффективная масса проводимости (), плотности состояний (), электронов () и дырок () для важнейших полупроводников — простых веществ IV группы и бинарных соединений AIIIBV и AIIBVI. Все значения представлены в единицах массы свободного электрона .

Эффективная масса электрона () определяется как среднее значение продольной () и поперечной () эффективных масс: .

Эффективная масса проводимости () используется для оценки подвижности электронов и проводимости и рассчитывается по формуле .

Эффективная масса плотности состояний () учитывает плотность квантовых состояний в зоне проводимости: . Она особенно важна для расчета концентраци носителей заряда. + Материал Группа IV Si0,980,190,261,08 0,33 0,49 Ge1,640,0820,330,55 0,22 0,28 AIIIBV GaAs0,0670,0670,1 0,067 0,082 InSb0,01450,01450,015 0,0145 0,4 AIIBVI ZnSe0,160,40,20,45 0,29 0,45 ZnO0,270,270,270,4 0,27 0,4+Эффективная масса

На этом сайте приводится температурная зависимость эффективной массы для кремния.

Экспериментальное определение Традиционно эффективные массы носителей измерялись методом циклотронного резонанса, в котором измеряется поглощение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от индукции магнитного поля . Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте в спектре наблюдается острый пик ( - циклотронная масса). В случае квадратичного изотропного закона дисперсии носителей заряда эффективная и циклотронная массы совпадают, . В последние годы эффективные массы обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием таких методов, как фотоэмиссия с угловым разрешением (ARPES), или более прямым методом, основанным на эффекте де Гааза — ван Альфена.

Эффективные массы могут также быть оценены при использовании коэффициента из линейного слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми.

Значимость эффективной массы Как показывает таблица, полупроводниковые соединения AIIIBV, такие, как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой простой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе: где , — время релаксации по импульсам и — заряд электрона. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы AIIIBV используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания.

В случае переноса электронов и дырок через тонкий полупроводниковый или диэлектрический слой посредством туннельного эффекта эффективная масса в этом слое влияет на коэффициент прохождения (уменьшение массы влечёт увеличение коэффициента прохождения) и, следовательно, на ток.

Эффективная масса плотности состояний Поведение плотности состояний электронов и дырок вблизи краёв зон аппроксимируется формулами , где и — энергии краёв валентной зоны и зоны проводимости, соответственно, — постоянная Планка. Входящие сюда величины , носят название эффективных масс плотности состояний. Для изотропного параболического закона дисперсии они совпадают с эффективными массами (раздельно для электронов и дырок), а в более сложных анизотропных случаях находятся численно, с усреднением по направлениям.

Обобщения Понятие эффективной массы в физике твёрдого тела используется не только применительно к электронам и дыркам. Оно обобщается на другие квазичастицы (типы возбуждений), такие как фононы, фотоны или экситоны, с теми же формулами для расчёта (только подставляются законы дисперсии, соответственно, для фононов и так далее). Тем не менее, основным применением термина всё же является именно кинетика электронов и дырок в кристаллах.

Ссылки NSM archive Книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением между теорией и экспериментом.

Примечания

Литература

Категория:физика твёрдого тела Категория:Масса