Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).
Определение Семейство подмножеств множества (здесь — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
Если множество , то и его дополнение Объединение двух множеств также принадлежит
Замечания По определению, если алгебра содержит множество , то она содержит и его дополнение. Объединением с его дополнением является исходное множество . Дополнением к множеству является пустое множество. Это означает, что множество и пустое множество содержится в алгебре по определению. В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности. Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность. Если исходное множество является пространством элементарных событий, то алгебра называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.
Алгебра событий Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.
Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.
В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:
алгебра конечных подмножеств ; сигма-алгебра счётных подмножеств ; алгебра подмножеств , образованная конечными объединениями интервалов; сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ; алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.
Событие или , заключающееся в том, что из двух событий и происходит по крайней мере одно, называется суммой событий и .
Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности , то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где .
Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.
См. также Кольцо множеств Аксиоматика Колмогорова Событие (теория вероятностей)
Примечания
Литература
Категория:Теория множеств Категория:Теория меры Категория:Теория вероятностей