Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.
Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых. Она использовалась Джоном Сингом.
Формулировка Пусть есть геодезическая в римановом многообразии с положительной секционной кривизной и параллельное поле касательных векторов на . Тогда вариация в направлении сокращает её длину.
Более точно, если
и обозначает длину кривой тогда и .
Следствия Eсли замкнутая геодезическая допускающая параллельное векторное поле не является стабильной, то есть её длина может быть уменьшена произвольно малой деформацией. В частности, Чётномерные ориентированные римановы многообразия с положительной секционной кривизной односвязны. Нечётномерные римановы многообразия с положительной секционной кривизной ориентированны. Лемма Синга использовалась также для доказательства того, что если и являются замкнутыми геодезическими подмногобразиями в римановом многообразии с положительной секционной кривизной и то и пересекаются.
Примечания
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия